Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35206 / 47670
↖ ↑ ↗
← S 63.049980°
E 13.392334°		 ← 276.85 m → S 63.049980°
E 13.397827°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
S 63.052470°
E 13.392334°		 ← 276.82 m →
76 633 m²		 S 63.052470°
E 13.397827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537208557128906 y=0.727394104003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537208557128906 × 216)
    floor (0.537208557128906 × 65536)
    floor (35206.5)     		tx = 35206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727394104003906 × 216)
    floor (0.727394104003906 × 65536)
    floor (47670.5)     		ty = 47670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35206 / 47670 ti = "16/35206/47670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35206/47670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35206 ÷ 216
    35206 ÷ 65536     		x = 0.537200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47670 ÷ 216
    47670 ÷ 65536     		y = 0.727386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537200927734375 × 2 - 1) × π
    0.07440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23374032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.45477294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42871135627615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23374032} λ = 0.23374032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42871135627615))-π/2
    2×atan(0.239617504968357)-π/2
    2×0.235183286112224-π/2
    0.470366572224448-1.57079632675     		φ = -1.10042975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23374032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10042975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.049980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35206 KachelY 47670 0.23374032 -1.10042975 13.392334 -63.049980
    Oben rechts KachelX + 1 35207 KachelY 47670 0.23383620 -1.10042975 13.397827 -63.049980
    Unten links KachelX 35206 KachelY + 1 47671 0.23374032 -1.10047320 13.392334 -63.052470
    Unten rechts KachelX + 1 35207 KachelY + 1 47671 0.23383620 -1.10047320 13.397827 -63.052470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10042975--1.10047320) × R
    4.34499999999449e-05 × 6371000     		dl = 276.819949999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10042975--1.10047320) × R
    4.34499999999449e-05 × 6371000     		dr = 276.819949999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23374032-0.23383620) × cos(-1.10042975) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453213083188167 × 6371000     		do = 276.845882620833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23374032-0.23383620) × cos(-1.10047320) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453174351334313 × 6371000     		du = 276.822223210584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10042975)-sin(-1.10047320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453213083188167-0.453174351334313)×R²
    abs(0.23383620-0.23374032)×3.8731853853391e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8731853853391e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8731853853391e-05×40589641000000     		ar = 76633.1886983395m²