Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35204 / 47831
↖ ↑ ↗
← S 63.448054°
E 13.381347°		 ← 273.06 m → S 63.448054°
E 13.386841°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
S 63.450509°
E 13.381347°		 ← 273.03 m →
74 558 m²		 S 63.450509°
E 13.386841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537178039550781 y=0.729850769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537178039550781 × 216)
    floor (0.537178039550781 × 65536)
    floor (35204.5)     		tx = 35204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729850769042969 × 216)
    floor (0.729850769042969 × 65536)
    floor (47831.5)     		ty = 47831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35204 / 47831 ti = "16/35204/47831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35204/47831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35204 ÷ 216
    35204 ÷ 65536     		x = 0.53717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47831 ÷ 216
    47831 ÷ 65536     		y = 0.729843139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53717041015625 × 2 - 1) × π
    0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729843139648438 × 2 - 1) × π
    -0.459686279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44414703795381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23354857} λ = 0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44414703795381))-π/2
    2×atan(0.235947244793943)-π/2
    2×0.231709441753091-π/2
    0.463418883506181-1.57079632675     		φ = -1.10737744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10737744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.448054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35204 KachelY 47831 0.23354857 -1.10737744 13.381347 -63.448054
    Oben rechts KachelX + 1 35205 KachelY 47831 0.23364445 -1.10737744 13.386841 -63.448054
    Unten links KachelX 35204 KachelY + 1 47832 0.23354857 -1.10742030 13.381347 -63.450509
    Unten rechts KachelX + 1 35205 KachelY + 1 47832 0.23364445 -1.10742030 13.386841 -63.450509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10737744--1.10742030) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10737744--1.10742030) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23354857-0.23364445) × cos(-1.10737744) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.447009008443859 × 6371000     		do = 273.056114381243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23354857-0.23364445) × cos(-1.10742030) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.446970668500844 × 6371000     		du = 273.032694370309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10737744)-sin(-1.10742030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447009008443859-0.446970668500844)×R²
    abs(0.23364445-0.23354857)×3.83399430148867e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83399430148867e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83399430148867e-05×40589641000000     		ar = 74557.7944971958m²