Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35203 / 47991
↖ ↑ ↗
← S 63.838246°
E 13.375854°		 ← 269.30 m → S 63.838246°
E 13.381347°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
S 63.840668°
E 13.375854°		 ← 269.28 m →
72 520 m²		 S 63.840668°
E 13.381347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537162780761719 y=0.732292175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537162780761719 × 216)
    floor (0.537162780761719 × 65536)
    floor (35203.5)     		tx = 35203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732292175292969 × 216)
    floor (0.732292175292969 × 65536)
    floor (47991.5)     		ty = 47991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35203 / 47991 ti = "16/35203/47991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35203/47991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35203 ÷ 216
    35203 ÷ 65536     		x = 0.537155151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47991 ÷ 216
    47991 ÷ 65536     		y = 0.732284545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537155151367188 × 2 - 1) × π
    0.074310302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23345270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732284545898438 × 2 - 1) × π
    -0.464569091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45948684583223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23345270} λ = 0.23345270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45948684583223))-π/2
    2×atan(0.232355478324339)-π/2
    2×0.228304367701787-π/2
    0.456608735403574-1.57079632675     		φ = -1.11418759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23345270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.375854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11418759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.838246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35203 KachelY 47991 0.23345270 -1.11418759 13.375854 -63.838246
    Oben rechts KachelX + 1 35204 KachelY 47991 0.23354857 -1.11418759 13.381347 -63.838246
    Unten links KachelX 35203 KachelY + 1 47992 0.23345270 -1.11422986 13.375854 -63.840668
    Unten rechts KachelX + 1 35204 KachelY + 1 47992 0.23354857 -1.11422986 13.381347 -63.840668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11418759--1.11422986) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dl = 269.30217000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11418759--1.11422986) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dr = 269.30217000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23345270-0.23354857) × cos(-1.11418759) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440906810078394 × 6371000     		do = 269.30048730559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23345270-0.23354857) × cos(-1.11422986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440868870123979 × 6371000     		du = 269.277314045439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11418759)-sin(-1.11422986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440906810078394-0.440868870123979)×R²
    abs(0.23354857-0.23345270)×3.79399544148118e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79399544148118e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79399544148118e-05×40589641000000     		ar = 72520.0853197996m²