Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35200 / 22401
↖ ↑ ↗
← N 75.584254°
W 83.320313°		 ← 76.04 m → N 75.584254°
W 83.317566°		 →
↑
76.07 m
↓
↑
76.07 m
↓
N 75.583570°
W 83.320313°		 ← 76.04 m →
5 784 m²		 N 75.583570°
W 83.317566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268558502197266 y=0.170909881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268558502197266 × 217)
    floor (0.268558502197266 × 131072)
    floor (35200.5)     		tx = 35200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170909881591797 × 217)
    floor (0.170909881591797 × 131072)
    floor (22401.5)     		ty = 22401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35200 / 22401 ti = "17/35200/22401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35200/22401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35200 ÷ 217
    35200 ÷ 131072     		x = 0.2685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22401 ÷ 217
    22401 ÷ 131072     		y = 0.170906066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2685546875 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45421379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170906066894531 × 2 - 1) × π
    0.658187866210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.06775816511112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45421379} λ = -1.45421379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06775816511112))-π/2
    2×atan(7.90707687240426)-π/2
    2×1.44499520778531-π/2
    2.88999041557062-1.57079632675     		φ = 1.31919409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45421379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.320313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31919409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.584254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35200 KachelY 22401 -1.45421379 1.31919409 -83.320313 75.584254
    Oben rechts KachelX + 1 35201 KachelY 22401 -1.45416585 1.31919409 -83.317566 75.584254
    Unten links KachelX 35200 KachelY + 1 22402 -1.45421379 1.31918215 -83.320313 75.583570
    Unten rechts KachelX + 1 35201 KachelY + 1 22402 -1.45416585 1.31918215 -83.317566 75.583570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31919409-1.31918215) × R
    1.19400000000436e-05 × 6371000     		dl = 76.0697400002777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31919409-1.31918215) × R
    1.19400000000436e-05 × 6371000     		dr = 76.0697400002777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45421379--1.45416585) × cos(1.31919409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.248956068160352 × 6371000     		do = 76.0375913453161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45421379--1.45416585) × cos(1.31918215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.248967632209061 × 6371000     		du = 76.0411233034504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31919409)-sin(1.31918215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248956068160352-0.248967632209061)×R²
    abs(-1.45416585--1.45421379)×1.15640487087232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15640487087232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15640487087232e-05×40589641000000     		ar = 5784.29414147074m²