Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3520 / 5434
↖ ↑ ↗
← S 50.569283°
W 25.312500°		 ← 3 103.63 m → S 50.569283°
W 25.268555°		 →
↑
3 102.68 m
↓
↑
3 102.68 m
↓
S 50.597186°
W 25.312500°		 ← 3 101.79 m →
9 626 710 m²		 S 50.597186°
W 25.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42974853515625 y=0.66339111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42974853515625 × 213)
    floor (0.42974853515625 × 8192)
    floor (3520.5)     		tx = 3520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66339111328125 × 213)
    floor (0.66339111328125 × 8192)
    floor (5434.5)     		ty = 5434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3520 / 5434 ti = "13/3520/5434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3520/5434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3520 ÷ 213
    3520 ÷ 8192     		x = 0.4296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5434 ÷ 213
    5434 ÷ 8192     		y = 0.663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4296875 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.32666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02623314706616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44178647} λ = -0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02623314706616))-π/2
    2×atan(0.358354289287412)-π/2
    2×0.34409792021838-π/2
    0.68819584043676-1.57079632675     		φ = -0.88260049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88260049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.569283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3520 KachelY 5434 -0.44178647 -0.88260049 -25.312500 -50.569283
    Oben rechts KachelX + 1 3521 KachelY 5434 -0.44101948 -0.88260049 -25.268555 -50.569283
    Unten links KachelX 3520 KachelY + 1 5435 -0.44178647 -0.88308749 -25.312500 -50.597186
    Unten rechts KachelX + 1 3521 KachelY + 1 5435 -0.44101948 -0.88308749 -25.268555 -50.597186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88260049--0.88308749) × R
    0.000487000000000015 × 6371000     		dl = 3102.6770000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88260049--0.88308749) × R
    0.000487000000000015 × 6371000     		dr = 3102.6770000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44178647--0.44101948) × cos(-0.88260049) × R
    0.000766989999999967 × 0.635144693328959 × 6371000     		do = 3103.63028213093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44178647--0.44101948) × cos(-0.88308749) × R
    0.000766989999999967 × 0.634768462548737 × 6371000     		du = 3101.79183294789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88260049)-sin(-0.88308749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635144693328959-0.634768462548737)×R²
    abs(-0.44101948--0.44178647)×0.000376230780222198×R²
    0.000766989999999967×0.000376230780222198×6371000²
    0.000766989999999967×0.000376230780222198×40589641000000     		ar = 9626710.42613726m²