Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35195 / 22411
↖ ↑ ↗
← N 75.577414°
W 83.334045°		 ← 76.07 m → N 75.577414°
W 83.331299°		 →
↑
76.07 m
↓
↑
76.07 m
↓
N 75.576730°
W 83.334045°		 ← 76.08 m →
5 787 m²		 N 75.576730°
W 83.331299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268520355224609 y=0.170986175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268520355224609 × 217)
    floor (0.268520355224609 × 131072)
    floor (35195.5)     		tx = 35195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170986175537109 × 217)
    floor (0.170986175537109 × 131072)
    floor (22411.5)     		ty = 22411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35195 / 22411 ti = "17/35195/22411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35195/22411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35195 ÷ 217
    35195 ÷ 131072     		x = 0.268516540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22411 ÷ 217
    22411 ÷ 131072     		y = 0.170982360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268516540527344 × 2 - 1) × π
    -0.462966918945312 × 3.1415926535     		Λ = -1.45445347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170982360839844 × 2 - 1) × π
    0.658035278320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.06727879611492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45445347} λ = -1.45445347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06727879611492))-π/2
    2×atan(7.90328737325782)-π/2
    2×1.44493552302089-π/2
    2.88987104604179-1.57079632675     		φ = 1.31907472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45445347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.334045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31907472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.577414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35195 KachelY 22411 -1.45445347 1.31907472 -83.334045 75.577414
    Oben rechts KachelX + 1 35196 KachelY 22411 -1.45440553 1.31907472 -83.331299 75.577414
    Unten links KachelX 35195 KachelY + 1 22412 -1.45445347 1.31906278 -83.334045 75.576730
    Unten rechts KachelX + 1 35196 KachelY + 1 22412 -1.45440553 1.31906278 -83.331299 75.576730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31907472-1.31906278) × R
    1.19399999998215e-05 × 6371000     		dl = 76.069739998863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31907472-1.31906278) × R
    1.19399999998215e-05 × 6371000     		dr = 76.069739998863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45445347--1.45440553) × cos(1.31907472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.249071677995472 × 6371000     		do = 76.072901564759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45445347--1.45440553) × cos(1.31906278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.249083241689259 × 6371000     		du = 76.0764334144908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31907472)-sin(1.31906278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249071677995472-0.249083241689259)×R²
    abs(-1.45440553--1.45445347)×1.15636937863262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15636937863262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15636937863262e-05×40589641000000     		ar = 5786.98017644891m²