Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35192 / 48760
↖ ↑ ↗
← S 65.640155°
E 13.315430°		 ← 251.93 m → S 65.640155°
E 13.320923°		 →
↑
251.97 m
↓
↑
251.97 m
↓
S 65.642421°
E 13.315430°		 ← 251.91 m →
63 477 m²		 S 65.642421°
E 13.320923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536994934082031 y=0.744026184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536994934082031 × 216)
    floor (0.536994934082031 × 65536)
    floor (35192.5)     		tx = 35192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744026184082031 × 216)
    floor (0.744026184082031 × 65536)
    floor (48760.5)     		ty = 48760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35192 / 48760 ti = "16/35192/48760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35192/48760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35192 ÷ 216
    35192 ÷ 65536     		x = 0.5369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48760 ÷ 216
    48760 ÷ 65536     		y = 0.7440185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5369873046875 × 2 - 1) × π
    0.073974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23239809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53321379744788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23239809} λ = 0.23239809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53321379744788))-π/2
    2×atan(0.215840882587713)-π/2
    2×0.212579751145876-π/2
    0.425159502291752-1.57079632675     		φ = -1.14563682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23239809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14563682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.640155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35192 KachelY 48760 0.23239809 -1.14563682 13.315430 -65.640155
    Oben rechts KachelX + 1 35193 KachelY 48760 0.23249396 -1.14563682 13.320923 -65.640155
    Unten links KachelX 35192 KachelY + 1 48761 0.23239809 -1.14567637 13.315430 -65.642421
    Unten rechts KachelX + 1 35193 KachelY + 1 48761 0.23249396 -1.14567637 13.320923 -65.642421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14563682--1.14567637) × R
    3.95500000001103e-05 × 6371000     		dl = 251.973050000703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14563682--1.14567637) × R
    3.95500000001103e-05 × 6371000     		dr = 251.973050000703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23239809-0.23249396) × cos(-1.14563682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41246609336591 × 6371000     		do = 251.92924536757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23239809-0.23249396) × cos(-1.14567637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412430064063022 × 6371000     		du = 251.907239110005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14563682)-sin(-1.14567637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41246609336591-0.412430064063022)×R²
    abs(0.23249396-0.23239809)×3.60293028878744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60293028878744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60293028878744e-05×40589641000000     		ar = 63476.6078560119m²