Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35190 / 47767
↖ ↑ ↗
← S 63.290470°
E 13.304443°		 ← 274.56 m → S 63.290470°
E 13.309937°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
S 63.292939°
E 13.304443°		 ← 274.53 m →
75 370 m²		 S 63.292939°
E 13.309937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536964416503906 y=0.728874206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536964416503906 × 216)
    floor (0.536964416503906 × 65536)
    floor (35190.5)     		tx = 35190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728874206542969 × 216)
    floor (0.728874206542969 × 65536)
    floor (47767.5)     		ty = 47767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35190 / 47767 ti = "16/35190/47767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35190/47767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35190 ÷ 216
    35190 ÷ 65536     		x = 0.536956787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47767 ÷ 216
    47767 ÷ 65536     		y = 0.728866577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536956787109375 × 2 - 1) × π
    0.07391357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23220634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728866577148438 × 2 - 1) × π
    -0.457733154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43801111480244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23220634} λ = 0.23220634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43801111480244))-π/2
    2×atan(0.237399449708417)-π/2
    2×0.233084617033192-π/2
    0.466169234066385-1.57079632675     		φ = -1.10462709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23220634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.304443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10462709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.290470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35190 KachelY 47767 0.23220634 -1.10462709 13.304443 -63.290470
    Oben rechts KachelX + 1 35191 KachelY 47767 0.23230222 -1.10462709 13.309937 -63.290470
    Unten links KachelX 35190 KachelY + 1 47768 0.23220634 -1.10467018 13.304443 -63.292939
    Unten rechts KachelX + 1 35191 KachelY + 1 47768 0.23230222 -1.10467018 13.309937 -63.292939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10462709--1.10467018) × R
    4.30900000001344e-05 × 6371000     		dl = 274.526390000856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10462709--1.10467018) × R
    4.30900000001344e-05 × 6371000     		dr = 274.526390000856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23220634-0.23230222) × cos(-1.10462709) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449467583747425 × 6371000     		do = 274.557938744117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23220634-0.23230222) × cos(-1.10467018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449429091177846 × 6371000     		du = 274.534425501021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10462709)-sin(-1.10467018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449467583747425-0.449429091177846)×R²
    abs(0.23230222-0.23220634)×3.84925695793292e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84925695793292e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84925695793292e-05×40589641000000     		ar = 75370.1722785082m²