Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35188 / 47990
↖ ↑ ↗
← S 63.835825°
E 13.293457°		 ← 269.35 m → S 63.835825°
E 13.298950°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
S 63.838246°
E 13.293457°		 ← 269.33 m →
72 534 m²		 S 63.838246°
E 13.298950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536933898925781 y=0.732276916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536933898925781 × 216)
    floor (0.536933898925781 × 65536)
    floor (35188.5)     		tx = 35188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732276916503906 × 216)
    floor (0.732276916503906 × 65536)
    floor (47990.5)     		ty = 47990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35188 / 47990 ti = "16/35188/47990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35188/47990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35188 ÷ 216
    35188 ÷ 65536     		x = 0.53692626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47990 ÷ 216
    47990 ÷ 65536     		y = 0.732269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53692626953125 × 2 - 1) × π
    0.0738525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23201459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732269287109375 × 2 - 1) × π
    -0.46453857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45939097203299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23201459} λ = 0.23201459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45939097203299))-π/2
    2×atan(0.232377756194735)-π/2
    2×0.228325504316626-π/2
    0.456651008633252-1.57079632675     		φ = -1.11414532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23201459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11414532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.835825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35188 KachelY 47990 0.23201459 -1.11414532 13.293457 -63.835825
    Oben rechts KachelX + 1 35189 KachelY 47990 0.23211047 -1.11414532 13.298950 -63.835825
    Unten links KachelX 35188 KachelY + 1 47991 0.23201459 -1.11418759 13.293457 -63.838246
    Unten rechts KachelX + 1 35189 KachelY + 1 47991 0.23211047 -1.11418759 13.298950 -63.838246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11414532--1.11418759) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dl = 269.30217000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11414532--1.11418759) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dr = 269.30217000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23201459-0.23211047) × cos(-1.11414532) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.440944749245017 × 6371000     		do = 269.351752674605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23201459-0.23211047) × cos(-1.11418759) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.440906810078394 × 6371000     		du = 269.328577478523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11414532)-sin(-1.11418759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440944749245017-0.440906810078394)×R²
    abs(0.23211047-0.23201459)×3.79391666232576e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.79391666232576e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.79391666232576e-05×40589641000000     		ar = 72533.8909340351m²