Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35186 / 47988
↖ ↑ ↗
← S 63.830980°
E 13.282471°		 ← 269.37 m → S 63.830980°
E 13.287964°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
S 63.833402°
E 13.282471°		 ← 269.35 m →
72 556 m²		 S 63.833402°
E 13.287964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536903381347656 y=0.732246398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536903381347656 × 216)
    floor (0.536903381347656 × 65536)
    floor (35186.5)     		tx = 35186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732246398925781 × 216)
    floor (0.732246398925781 × 65536)
    floor (47988.5)     		ty = 47988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35186 / 47988 ti = "16/35186/47988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35186/47988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35186 ÷ 216
    35186 ÷ 65536     		x = 0.536895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47988 ÷ 216
    47988 ÷ 65536     		y = 0.73223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536895751953125 × 2 - 1) × π
    0.07379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23182285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.4644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45919922443451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23182285} λ = 0.23182285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45919922443451))-π/2
    2×atan(0.232422318343631)-π/2
    2×0.228367783003076-π/2
    0.456735566006153-1.57079632675     		φ = -1.11406076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23182285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.282471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11406076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.830980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35186 KachelY 47988 0.23182285 -1.11406076 13.282471 -63.830980
    Oben rechts KachelX + 1 35187 KachelY 47988 0.23191872 -1.11406076 13.287964 -63.830980
    Unten links KachelX 35186 KachelY + 1 47989 0.23182285 -1.11410304 13.282471 -63.833402
    Unten rechts KachelX + 1 35187 KachelY + 1 47989 0.23191872 -1.11410304 13.287964 -63.833402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11406076--1.11410304) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dl = 269.365879999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11406076--1.11410304) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dr = 269.365879999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23182285-0.23191872) × cos(-1.11406076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441020643164557 × 6371000     		do = 269.37001516244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23182285-0.23191872) × cos(-1.11410304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440982696598937 × 6371000     		du = 269.346837864245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11406076)-sin(-1.11410304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441020643164557-0.440982696598937)×R²
    abs(0.23191872-0.23182285)×3.79465656200062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79465656200062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79465656200062e-05×40589641000000     		ar = 72555.9696039926m²