Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35183 / 22414
↖ ↑ ↗
← N 75.575362°
W 83.367004°		 ← 76.07 m → N 75.575362°
W 83.364258°		 →
↑
76.07 m
↓
↑
76.07 m
↓
N 75.574678°
W 83.367004°		 ← 76.07 m →
5 787 m²		 N 75.574678°
W 83.364258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268428802490234 y=0.171009063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268428802490234 × 217)
    floor (0.268428802490234 × 131072)
    floor (35183.5)     		tx = 35183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171009063720703 × 217)
    floor (0.171009063720703 × 131072)
    floor (22414.5)     		ty = 22414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35183 / 22414 ti = "17/35183/22414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35183/22414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35183 ÷ 217
    35183 ÷ 131072     		x = 0.268424987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22414 ÷ 217
    22414 ÷ 131072     		y = 0.171005249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268424987792969 × 2 - 1) × π
    -0.463150024414062 × 3.1415926535     		Λ = -1.45502871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171005249023438 × 2 - 1) × π
    0.657989501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06713498541606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45502871} λ = -1.45502871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06713498541606))-π/2
    2×atan(7.90215087769945)-π/2
    2×1.44491761218754-π/2
    2.88983522437508-1.57079632675     		φ = 1.31903890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45502871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.367004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31903890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.575362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35183 KachelY 22414 -1.45502871 1.31903890 -83.367004 75.575362
    Oben rechts KachelX + 1 35184 KachelY 22414 -1.45498078 1.31903890 -83.364258 75.575362
    Unten links KachelX 35183 KachelY + 1 22415 -1.45502871 1.31902696 -83.367004 75.574678
    Unten rechts KachelX + 1 35184 KachelY + 1 22415 -1.45498078 1.31902696 -83.364258 75.574678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31903890-1.31902696) × R
    1.19400000000436e-05 × 6371000     		dl = 76.0697400002777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31903890-1.31902696) × R
    1.19400000000436e-05 × 6371000     		dr = 76.0697400002777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45502871--1.45498078) × cos(1.31903890) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.249106368970299 × 6371000     		do = 76.0676265143938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45502871--1.45498078) × cos(1.31902696) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.24911793255755 × 6371000     		du = 76.0711575948708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31903890)-sin(1.31902696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249106368970299-0.24911793255755)×R²
    abs(-1.45498078--1.45502871)×1.156358725099e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.156358725099e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.156358725099e-05×40589641000000     		ar = 5786.57887560351m²