Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3517 / 2708
↖ ↑ ↗
← N 51.944265°
W 25.444336°		 ← 3 012.17 m → N 51.944265°
W 25.400391°		 →
↑
3 013.10 m
↓
↑
3 013.10 m
↓
N 51.917167°
W 25.444336°		 ← 3 013.99 m →
9 078 713 m²		 N 51.917167°
W 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42938232421875 y=0.33062744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42938232421875 × 213)
    floor (0.42938232421875 × 8192)
    floor (3517.5)     		tx = 3517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33062744140625 × 213)
    floor (0.33062744140625 × 8192)
    floor (2708.5)     		ty = 2708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3517 / 2708 ti = "13/3517/2708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3517/2708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3517 ÷ 213
    3517 ÷ 8192     		x = 0.4293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2708 ÷ 213
    2708 ÷ 8192     		y = 0.33056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44408744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33056640625 × 2 - 1) × π
    0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44408744} λ = -0.44408744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06458266676221))-π/2
    2×atan(2.89962862011422)-π/2
    2×1.23869738822162-π/2
    2.47739477644325-1.57079632675     		φ = 0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44408744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3517 KachelY 2708 -0.44408744 0.90659845 -25.444336 51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 3518 KachelY 2708 -0.44332045 0.90659845 -25.400391 51.944265
    Unten links KachelX 3517 KachelY + 1 2709 -0.44408744 0.90612551 -25.444336 51.917167
    Unten rechts KachelX + 1 3518 KachelY + 1 2709 -0.44332045 0.90612551 -25.400391 51.917167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90659845-0.90612551) × R
    0.000472939999999977 × 6371000     		dl = 3013.10073999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90659845-0.90612551) × R
    0.000472939999999977 × 6371000     		dr = 3013.10073999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44408744--0.44332045) × cos(0.90659845) × R
    0.000766990000000023 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 3012.16996677427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44408744--0.44332045) × cos(0.90612551) × R
    0.000766990000000023 × 0.616800059510535 × 6371000     		du = 3013.98935206992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90659845)-sin(0.90612551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.616800059510535)×R²
    abs(-0.44332045--0.44408744)×0.000372329437016039×R²
    0.000766990000000023×0.000372329437016039×6371000²
    0.000766990000000023×0.000372329437016039×40589641000000     		ar = 9078712.72070239m²