Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3517 / 1851
↖ ↑ ↗
← N 69.733334°
W 25.444336°		 ← 1 692.63 m → N 69.733334°
W 25.400391°		 →
↑
1 693.22 m
↓
↑
1 693.22 m
↓
N 69.718107°
W 25.444336°		 ← 1 693.85 m →
2 867 031 m²		 N 69.718107°
W 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42938232421875 y=0.22601318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42938232421875 × 213)
    floor (0.42938232421875 × 8192)
    floor (3517.5)     		tx = 3517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22601318359375 × 213)
    floor (0.22601318359375 × 8192)
    floor (1851.5)     		ty = 1851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3517 / 1851 ti = "13/3517/1851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3517/1851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3517 ÷ 213
    3517 ÷ 8192     		x = 0.4293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1851 ÷ 213
    1851 ÷ 8192     		y = 0.2259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44408744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2259521484375 × 2 - 1) × π
    0.548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72189343435242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44408744} λ = -0.44408744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72189343435242))-π/2
    2×atan(5.59511241916221)-π/2
    2×1.3939363051417-π/2
    2.7878726102834-1.57079632675     		φ = 1.21707628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44408744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21707628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.733334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3517 KachelY 1851 -0.44408744 1.21707628 -25.444336 69.733334
    Oben rechts KachelX + 1 3518 KachelY 1851 -0.44332045 1.21707628 -25.400391 69.733334
    Unten links KachelX 3517 KachelY + 1 1852 -0.44408744 1.21681051 -25.444336 69.718107
    Unten rechts KachelX + 1 3518 KachelY + 1 1852 -0.44332045 1.21681051 -25.400391 69.718107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21707628-1.21681051) × R
    0.000265769999999943 × 6371000     		dl = 1693.22066999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21707628-1.21681051) × R
    0.000265769999999943 × 6371000     		dr = 1693.22066999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44408744--0.44332045) × cos(1.21707628) × R
    0.000766990000000023 × 0.346389937209692 × 6371000     		do = 1692.63210389873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44408744--0.44332045) × cos(1.21681051) × R
    0.000766990000000023 × 0.346639241317444 × 6371000     		du = 1693.85032674843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21707628)-sin(1.21681051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346389937209692-0.346639241317444)×R²
    abs(-0.44332045--0.44408744)×0.000249304107751813×R²
    0.000766990000000023×0.000249304107751813×6371000²
    0.000766990000000023×0.000249304107751813×40589641000000     		ar = 2867031.04195862m²