Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35166 / 48062
↖ ↑ ↗
← S 64.009682°
E 13.172607°		 ← 267.66 m → S 64.009682°
E 13.178100°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
S 64.012089°
E 13.172607°		 ← 267.64 m →
71 635 m²		 S 64.012089°
E 13.178100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536598205566406 y=0.733375549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536598205566406 × 216)
    floor (0.536598205566406 × 65536)
    floor (35166.5)     		tx = 35166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733375549316406 × 216)
    floor (0.733375549316406 × 65536)
    floor (48062.5)     		ty = 48062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35166 / 48062 ti = "16/35166/48062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35166/48062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35166 ÷ 216
    35166 ÷ 65536     		x = 0.536590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48062 ÷ 216
    48062 ÷ 65536     		y = 0.733367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536590576171875 × 2 - 1) × π
    0.07318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22990537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733367919921875 × 2 - 1) × π
    -0.46673583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46629388557828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22990537} λ = 0.22990537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46629388557828))-π/2
    2×atan(0.230779196341744)-π/2
    2×0.226808309728478-π/2
    0.453616619456956-1.57079632675     		φ = -1.11717971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22990537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.172607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11717971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.009682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35166 KachelY 48062 0.22990537 -1.11717971 13.172607 -64.009682
    Oben rechts KachelX + 1 35167 KachelY 48062 0.23000124 -1.11717971 13.178100 -64.009682
    Unten links KachelX 35166 KachelY + 1 48063 0.22990537 -1.11722172 13.172607 -64.012089
    Unten rechts KachelX + 1 35167 KachelY + 1 48063 0.23000124 -1.11722172 13.178100 -64.012089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11717971--1.11722172) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dl = 267.645710000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11717971--1.11722172) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dr = 267.645710000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22990537-0.23000124) × cos(-1.11717971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438219254471787 × 6371000     		do = 267.658961209879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22990537-0.23000124) × cos(-1.11722172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438181492635667 × 6371000     		du = 267.635896742205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11717971)-sin(-1.11722172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438219254471787-0.438181492635667)×R²
    abs(0.23000124-0.22990537)×3.77618361198095e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77618361198095e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77618361198095e-05×40589641000000     		ar = 71634.6861683377m²