Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35166 / 47995
↖ ↑ ↗
← S 63.847933°
E 13.172607°		 ← 269.21 m → S 63.847933°
E 13.178100°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
S 63.850354°
E 13.172607°		 ← 269.18 m →
72 461 m²		 S 63.850354°
E 13.178100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536598205566406 y=0.732353210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536598205566406 × 216)
    floor (0.536598205566406 × 65536)
    floor (35166.5)     		tx = 35166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732353210449219 × 216)
    floor (0.732353210449219 × 65536)
    floor (47995.5)     		ty = 47995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35166 / 47995 ti = "16/35166/47995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35166/47995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35166 ÷ 216
    35166 ÷ 65536     		x = 0.536590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47995 ÷ 216
    47995 ÷ 65536     		y = 0.732345581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536590576171875 × 2 - 1) × π
    0.07318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22990537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732345581054688 × 2 - 1) × π
    -0.464691162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45987034102919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22990537} λ = 0.22990537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45987034102919))-π/2
    2×atan(0.232266388198324)-π/2
    2×0.228219839428898-π/2
    0.456439678857797-1.57079632675     		φ = -1.11435665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22990537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.172607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11435665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.847933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35166 KachelY 47995 0.22990537 -1.11435665 13.172607 -63.847933
    Oben rechts KachelX + 1 35167 KachelY 47995 0.23000124 -1.11435665 13.178100 -63.847933
    Unten links KachelX 35166 KachelY + 1 47996 0.22990537 -1.11439890 13.172607 -63.850354
    Unten rechts KachelX + 1 35167 KachelY + 1 47996 0.23000124 -1.11439890 13.178100 -63.850354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11435665--1.11439890) × R
    4.22500000001325e-05 × 6371000     		dl = 269.174750000844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11435665--1.11439890) × R
    4.22500000001325e-05 × 6371000     		dr = 269.174750000844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22990537-0.23000124) × cos(-1.11435665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440755063487212 × 6371000     		do = 269.207802343557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22990537-0.23000124) × cos(-1.11439890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440717138335602 × 6371000     		du = 269.184638124778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11435665)-sin(-1.11439890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440755063487212-0.440717138335602)×R²
    abs(0.23000124-0.22990537)×3.79251516096635e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79251516096635e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79251516096635e-05×40589641000000     		ar = 72460.8252937454m²