Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35166 / 103018
↖ ↑ ↗
← S 71.168259°
W 83.413696°		 ← 98.59 m → S 71.168259°
W 83.410949°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
S 71.169146°
W 83.413696°		 ← 98.58 m →
9 723 m²		 S 71.169146°
W 83.410949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268299102783203 y=0.785968780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268299102783203 × 217)
    floor (0.268299102783203 × 131072)
    floor (35166.5)     		tx = 35166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785968780517578 × 217)
    floor (0.785968780517578 × 131072)
    floor (103018.5)     		ty = 103018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35166 / 103018 ti = "17/35166/103018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35166/103018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35166 ÷ 217
    35166 ÷ 131072     		x = 0.268295288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103018 ÷ 217
    103018 ÷ 131072     		y = 0.785964965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268295288085938 × 2 - 1) × π
    -0.463409423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45584364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785964965820312 × 2 - 1) × π
    -0.571929931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79677087155894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45584364} λ = -1.45584364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79677087155894))-π/2
    2×atan(0.165833522299306)-π/2
    2×0.16433794110609-π/2
    0.32867588221218-1.57079632675     		φ = -1.24212044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45584364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.413696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24212044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.168259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35166 KachelY 103018 -1.45584364 -1.24212044 -83.413696 -71.168259
    Oben rechts KachelX + 1 35167 KachelY 103018 -1.45579570 -1.24212044 -83.410949 -71.168259
    Unten links KachelX 35166 KachelY + 1 103019 -1.45584364 -1.24213592 -83.413696 -71.169146
    Unten rechts KachelX + 1 35167 KachelY + 1 103019 -1.45579570 -1.24213592 -83.410949 -71.169146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24212044--1.24213592) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dl = 98.6230799990164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24212044--1.24213592) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dr = 98.6230799990164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45584364--1.45579570) × cos(-1.24212044) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322790077532905 × 6371000     		do = 98.588398295537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45584364--1.45579570) × cos(-1.24213592) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322775426129595 × 6371000     		du = 98.5839233798388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24212044)-sin(-1.24213592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322790077532905-0.322775426129595)×R²
    abs(-1.45579570--1.45584364)×1.46514033104173e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46514033104173e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46514033104173e-05×40589641000000     		ar = 9722.87082725312m²