Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35164 / 103019
↖ ↑ ↗
← S 71.169146°
W 83.419190°		 ← 98.58 m → S 71.169146°
W 83.416443°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.170032°
W 83.419190°		 ← 98.58 m →
9 716 m²		 S 71.170032°
W 83.416443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268283843994141 y=0.785976409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268283843994141 × 217)
    floor (0.268283843994141 × 131072)
    floor (35164.5)     		tx = 35164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785976409912109 × 217)
    floor (0.785976409912109 × 131072)
    floor (103019.5)     		ty = 103019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35164 / 103019 ti = "17/35164/103019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35164/103019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35164 ÷ 217
    35164 ÷ 131072     		x = 0.268280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103019 ÷ 217
    103019 ÷ 131072     		y = 0.785972595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.46343994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45593952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785972595214844 × 2 - 1) × π
    -0.571945190429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.79681880845856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45593952} λ = -1.45593952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79681880845856))-π/2
    2×atan(0.165825572944929)-π/2
    2×0.164330204503931-π/2
    0.328660409007862-1.57079632675     		φ = -1.24213592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45593952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.419190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24213592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.169146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35164 KachelY 103019 -1.45593952 -1.24213592 -83.419190 -71.169146
    Oben rechts KachelX + 1 35165 KachelY 103019 -1.45589158 -1.24213592 -83.416443 -71.169146
    Unten links KachelX 35164 KachelY + 1 103020 -1.45593952 -1.24215139 -83.419190 -71.170032
    Unten rechts KachelX + 1 35165 KachelY + 1 103020 -1.45589158 -1.24215139 -83.416443 -71.170032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24213592--1.24215139) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24213592--1.24215139) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45593952--1.45589158) × cos(-1.24213592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322775426129595 × 6371000     		do = 98.5839233793822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45593952--1.45589158) × cos(-1.24215139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322760784113743 × 6371000     		du = 98.5794513308556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24213592)-sin(-1.24215139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322775426129595-0.322760784113743)×R²
    abs(-1.45589158--1.45593952)×1.4642015851718e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4642015851718e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4642015851718e-05×40589641000000     		ar = 9716.14899958872m²