Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3516 / 890
↖ ↑ ↗
← N 80.223588°
W 25.488281°		 ← 829.75 m → N 80.223588°
W 25.444336°		 →
↑
830.01 m
↓
↑
830.01 m
↓
N 80.216123°
W 25.488281°		 ← 830.37 m →
688 960 m²		 N 80.216123°
W 25.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42926025390625 y=0.10870361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42926025390625 × 213)
    floor (0.42926025390625 × 8192)
    floor (3516.5)     		tx = 3516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10870361328125 × 213)
    floor (0.10870361328125 × 8192)
    floor (890.5)     		ty = 890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3516 / 890 ti = "13/3516/890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3516/890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3516 ÷ 213
    3516 ÷ 8192     		x = 0.42919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 890 ÷ 213
    890 ÷ 8192     		y = 0.108642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    0.78271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4589712029104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44485443} λ = -0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4589712029104))-π/2
    2×atan(11.692775856134)-π/2
    2×1.48548103459157-π/2
    2.97096206918315-1.57079632675     		φ = 1.40016574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40016574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.223588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3516 KachelY 890 -0.44485443 1.40016574 -25.488281 80.223588
    Oben rechts KachelX + 1 3517 KachelY 890 -0.44408744 1.40016574 -25.444336 80.223588
    Unten links KachelX 3516 KachelY + 1 891 -0.44485443 1.40003546 -25.488281 80.216123
    Unten rechts KachelX + 1 3517 KachelY + 1 891 -0.44408744 1.40003546 -25.444336 80.216123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40016574-1.40003546) × R
    0.000130280000000038 × 6371000     		dl = 830.013880000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40016574-1.40003546) × R
    0.000130280000000038 × 6371000     		dr = 830.013880000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44485443--0.44408744) × cos(1.40016574) × R
    0.000766990000000023 × 0.169803812128263 × 6371000     		do = 829.745188581203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44485443--0.44408744) × cos(1.40003546) × R
    0.000766990000000023 × 0.169932198745964 × 6371000     		du = 830.372548927122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40016574)-sin(1.40003546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169803812128263-0.169932198745964)×R²
    abs(-0.44408744--0.44485443)×0.000128386617700399×R²
    0.000766990000000023×0.000128386617700399×6371000²
    0.000766990000000023×0.000128386617700399×40589641000000     		ar = 688960.383256945m²