Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35154 / 102995
↖ ↑ ↗
← S 71.147858°
W 83.446655°		 ← 98.67 m → S 71.147858°
W 83.443909°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
S 71.148745°
W 83.446655°		 ← 98.67 m →
9 737 m²		 S 71.148745°
W 83.443909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268207550048828 y=0.785793304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268207550048828 × 217)
    floor (0.268207550048828 × 131072)
    floor (35154.5)     		tx = 35154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785793304443359 × 217)
    floor (0.785793304443359 × 131072)
    floor (102995.5)     		ty = 102995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35154 / 102995 ti = "17/35154/102995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35154/102995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35154 ÷ 217
    35154 ÷ 131072     		x = 0.268203735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102995 ÷ 217
    102995 ÷ 131072     		y = 0.785789489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268203735351562 × 2 - 1) × π
    -0.463592529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45641888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785789489746094 × 2 - 1) × π
    -0.571578979492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.79566832286768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45641888} λ = -1.45641888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79566832286768))-π/2
    2×atan(0.166016462664082)-π/2
    2×0.164515979866937-π/2
    0.329031959733873-1.57079632675     		φ = -1.24176437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45641888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.446655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24176437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.147858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35154 KachelY 102995 -1.45641888 -1.24176437 -83.446655 -71.147858
    Oben rechts KachelX + 1 35155 KachelY 102995 -1.45637095 -1.24176437 -83.443909 -71.147858
    Unten links KachelX 35154 KachelY + 1 102996 -1.45641888 -1.24177986 -83.446655 -71.148745
    Unten rechts KachelX + 1 35155 KachelY + 1 102996 -1.45637095 -1.24177986 -83.443909 -71.148745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24176437--1.24177986) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24176437--1.24177986) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45641888--1.45637095) × cos(-1.24176437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323127066843923 × 6371000     		do = 98.6707370794664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45641888--1.45637095) × cos(-1.24177986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323112407757102 × 6371000     		du = 98.6662607509568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24176437)-sin(-1.24177986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323127066843923-0.323112407757102)×R²
    abs(-1.45637095--1.45641888)×1.46590868209673e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46590868209673e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46590868209673e-05×40589641000000     		ar = 9737.27743227416m²