Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35153 / 103025
↖ ↑ ↗
← S 71.174464°
W 83.449402°		 ← 98.56 m → S 71.174464°
W 83.446655°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.175350°
W 83.449402°		 ← 98.55 m →
9 714 m²		 S 71.175350°
W 83.446655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268199920654297 y=0.786022186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268199920654297 × 217)
    floor (0.268199920654297 × 131072)
    floor (35153.5)     		tx = 35153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786022186279297 × 217)
    floor (0.786022186279297 × 131072)
    floor (103025.5)     		ty = 103025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35153 / 103025 ti = "17/35153/103025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35153/103025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35153 ÷ 217
    35153 ÷ 131072     		x = 0.268196105957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103025 ÷ 217
    103025 ÷ 131072     		y = 0.786018371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268196105957031 × 2 - 1) × π
    -0.463607788085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.45646682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786018371582031 × 2 - 1) × π
    -0.572036743164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.79710642985629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45646682} λ = -1.45646682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79710642985629))-π/2
    2×atan(0.165777884820252)-π/2
    2×0.164283792261701-π/2
    0.328567584523402-1.57079632675     		φ = -1.24222874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45646682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.449402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24222874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.174464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35153 KachelY 103025 -1.45646682 -1.24222874 -83.449402 -71.174464
    Oben rechts KachelX + 1 35154 KachelY 103025 -1.45641888 -1.24222874 -83.446655 -71.174464
    Unten links KachelX 35153 KachelY + 1 103026 -1.45646682 -1.24224421 -83.449402 -71.175350
    Unten rechts KachelX + 1 35154 KachelY + 1 103026 -1.45641888 -1.24224421 -83.446655 -71.175350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24222874--1.24224421) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dl = 98.5593699994036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24222874--1.24224421) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dr = 98.5593699994036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45646682--1.45641888) × cos(-1.24222874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322687572875904 × 6371000     		do = 98.5570907343624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45646682--1.45641888) × cos(-1.24224421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322672930396645 × 6371000     		du = 98.5526185442991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24222874)-sin(-1.24224421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322687572875904-0.322672930396645)×R²
    abs(-1.45641888--1.45646682)×1.46424792593636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46424792593636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46424792593636e-05×40589641000000     		ar = 9713.50438385917m²