Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35153 / 103023
↖ ↑ ↗
← S 71.172691°
W 83.449402°		 ← 98.57 m → S 71.172691°
W 83.446655°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.173578°
W 83.449402°		 ← 98.56 m →
9 714 m²		 S 71.173578°
W 83.446655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268199920654297 y=0.786006927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268199920654297 × 217)
    floor (0.268199920654297 × 131072)
    floor (35153.5)     		tx = 35153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786006927490234 × 217)
    floor (0.786006927490234 × 131072)
    floor (103023.5)     		ty = 103023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35153 / 103023 ti = "17/35153/103023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35153/103023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35153 ÷ 217
    35153 ÷ 131072     		x = 0.268196105957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103023 ÷ 217
    103023 ÷ 131072     		y = 0.786003112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268196105957031 × 2 - 1) × π
    -0.463607788085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.45646682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786003112792969 × 2 - 1) × π
    -0.572006225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.79701055605705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45646682} λ = -1.45646682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79701055605705))-π/2
    2×atan(0.165793779337822)-π/2
    2×0.164299261605258-π/2
    0.328598523210515-1.57079632675     		φ = -1.24219780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45646682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.449402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24219780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.172691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35153 KachelY 103023 -1.45646682 -1.24219780 -83.449402 -71.172691
    Oben rechts KachelX + 1 35154 KachelY 103023 -1.45641888 -1.24219780 -83.446655 -71.172691
    Unten links KachelX 35153 KachelY + 1 103024 -1.45646682 -1.24221327 -83.449402 -71.173578
    Unten rechts KachelX + 1 35154 KachelY + 1 103024 -1.45641888 -1.24221327 -83.446655 -71.173578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24219780--1.24221327) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dl = 98.5593699994036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24219780--1.24221327) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dr = 98.5593699994036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45646682--1.45641888) × cos(-1.24219780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322716857602742 × 6371000     		do = 98.5660350437275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45646682--1.45641888) × cos(-1.24221327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322702215277938 × 6371000     		du = 98.5615629008389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24219780)-sin(-1.24221327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322716857602742-0.322702215277938)×R²
    abs(-1.45641888--1.45646682)×1.46423248040817e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46423248040817e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46423248040817e-05×40589641000000     		ar = 9714.38593150914m²