Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35152 / 103024
↖ ↑ ↗
← S 71.173578°
W 83.452149°		 ← 98.56 m → S 71.173578°
W 83.449402°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.174464°
W 83.452149°		 ← 98.56 m →
9 714 m²		 S 71.174464°
W 83.449402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268192291259766 y=0.786014556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268192291259766 × 217)
    floor (0.268192291259766 × 131072)
    floor (35152.5)     		tx = 35152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786014556884766 × 217)
    floor (0.786014556884766 × 131072)
    floor (103024.5)     		ty = 103024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35152 / 103024 ti = "17/35152/103024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35152/103024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35152 ÷ 217
    35152 ÷ 131072     		x = 0.2681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103024 ÷ 217
    103024 ÷ 131072     		y = 0.7860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45651476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79705849295667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45651476} λ = -1.45651476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79705849295667))-π/2
    2×atan(0.165785831888554)-π/2
    2×0.164291526758009-π/2
    0.328583053516019-1.57079632675     		φ = -1.24221327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45651476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.452149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24221327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.173578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35152 KachelY 103024 -1.45651476 -1.24221327 -83.452149 -71.173578
    Oben rechts KachelX + 1 35153 KachelY 103024 -1.45646682 -1.24221327 -83.449402 -71.173578
    Unten links KachelX 35152 KachelY + 1 103025 -1.45651476 -1.24222874 -83.452149 -71.174464
    Unten rechts KachelX + 1 35153 KachelY + 1 103025 -1.45646682 -1.24222874 -83.449402 -71.174464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24221327--1.24222874) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24221327--1.24222874) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45651476--1.45646682) × cos(-1.24221327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322702215277938 × 6371000     		do = 98.5615629008389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45651476--1.45646682) × cos(-1.24222874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322687572875904 × 6371000     		du = 98.5570907343624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24221327)-sin(-1.24222874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322702215277938-0.322687572875904)×R²
    abs(-1.45646682--1.45651476)×1.46424020336933e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46424020336933e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46424020336933e-05×40589641000000     		ar = 9713.9451591964m²