Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35150 / 48325
↖ ↑ ↗
← S 64.635646°
E 13.084717°		 ← 261.65 m → S 64.635646°
E 13.090210°		 →
↑
261.59 m
↓
↑
261.59 m
↓
S 64.637998°
E 13.084717°		 ← 261.62 m →
68 442 m²		 S 64.637998°
E 13.090210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536354064941406 y=0.737388610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536354064941406 × 216)
    floor (0.536354064941406 × 65536)
    floor (35150.5)     		tx = 35150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737388610839844 × 216)
    floor (0.737388610839844 × 65536)
    floor (48325.5)     		ty = 48325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35150 / 48325 ti = "16/35150/48325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35150/48325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35150 ÷ 216
    35150 ÷ 65536     		x = 0.536346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48325 ÷ 216
    48325 ÷ 65536     		y = 0.737380981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536346435546875 × 2 - 1) × π
    0.07269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22837139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737380981445312 × 2 - 1) × π
    -0.474761962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49150869477843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22837139} λ = 0.22837139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49150869477843))-π/2
    2×atan(0.22503289335399)-π/2
    2×0.221345750495101-π/2
    0.442691500990202-1.57079632675     		φ = -1.12810483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22837139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12810483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.635646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35150 KachelY 48325 0.22837139 -1.12810483 13.084717 -64.635646
    Oben rechts KachelX + 1 35151 KachelY 48325 0.22846726 -1.12810483 13.090210 -64.635646
    Unten links KachelX 35150 KachelY + 1 48326 0.22837139 -1.12814589 13.084717 -64.637998
    Unten rechts KachelX + 1 35151 KachelY + 1 48326 0.22846726 -1.12814589 13.090210 -64.637998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12810483--1.12814589) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dl = 261.593260000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12810483--1.12814589) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dr = 261.593260000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22837139-0.22846726) × cos(-1.12810483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42837305554283 × 6371000     		do = 261.645023323085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22837139-0.22846726) × cos(-1.12814589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428335953284734 × 6371000     		du = 261.622361717601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12810483)-sin(-1.12814589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42837305554283-0.428335953284734)×R²
    abs(0.22846726-0.22837139)×3.71022580957225e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71022580957225e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71022580957225e-05×40589641000000     		ar = 68441.6105621161m²