Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3515 / 1843
↖ ↑ ↗
← N 69.854762°
W 25.532227°		 ← 1 682.91 m → N 69.854762°
W 25.488281°		 →
↑
1 683.54 m
↓
↑
1 683.54 m
↓
N 69.839622°
W 25.532227°		 ← 1 684.13 m →
2 834 267 m²		 N 69.839622°
W 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42913818359375 y=0.22503662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42913818359375 × 213)
    floor (0.42913818359375 × 8192)
    floor (3515.5)     		tx = 3515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22503662109375 × 213)
    floor (0.22503662109375 × 8192)
    floor (1843.5)     		ty = 1843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3515 / 1843 ti = "13/3515/1843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3515/1843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3515 ÷ 213
    3515 ÷ 8192     		x = 0.4290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1843 ÷ 213
    1843 ÷ 8192     		y = 0.2249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2249755859375 × 2 - 1) × π
    0.550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72802935750378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44562142} λ = -0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72802935750378))-π/2
    2×atan(5.62954914148647)-π/2
    2×1.39499596270483-π/2
    2.78999192540966-1.57079632675     		φ = 1.21919560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21919560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.854762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3515 KachelY 1843 -0.44562142 1.21919560 -25.532227 69.854762
    Oben rechts KachelX + 1 3516 KachelY 1843 -0.44485443 1.21919560 -25.488281 69.854762
    Unten links KachelX 3515 KachelY + 1 1844 -0.44562142 1.21893135 -25.532227 69.839622
    Unten rechts KachelX + 1 3516 KachelY + 1 1844 -0.44485443 1.21893135 -25.488281 69.839622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21919560-1.21893135) × R
    0.000264249999999855 × 6371000     		dl = 1683.53674999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21919560-1.21893135) × R
    0.000264249999999855 × 6371000     		dr = 1683.53674999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44562142--0.44485443) × cos(1.21919560) × R
    0.000766989999999967 × 0.344401046577212 × 6371000     		do = 1682.91340316845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44562142--0.44485443) × cos(1.21893135) × R
    0.000766989999999967 × 0.344649118428257 × 6371000     		du = 1684.12560460402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21919560)-sin(1.21893135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344401046577212-0.344649118428257)×R²
    abs(-0.44485443--0.44562142)×0.000248071851045195×R²
    0.000766989999999967×0.000248071851045195×6371000²
    0.000766989999999967×0.000248071851045195×40589641000000     		ar = 2834266.97062385m²