Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35149 / 47989
↖ ↑ ↗
← S 63.833402°
E 13.079224°		 ← 269.35 m → S 63.833402°
E 13.084717°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
S 63.835825°
E 13.079224°		 ← 269.32 m →
72 550 m²		 S 63.835825°
E 13.084717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536338806152344 y=0.732261657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536338806152344 × 216)
    floor (0.536338806152344 × 65536)
    floor (35149.5)     		tx = 35149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732261657714844 × 216)
    floor (0.732261657714844 × 65536)
    floor (47989.5)     		ty = 47989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35149 / 47989 ti = "16/35149/47989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35149/47989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35149 ÷ 216
    35149 ÷ 65536     		x = 0.536331176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47989 ÷ 216
    47989 ÷ 65536     		y = 0.732254028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536331176757812 × 2 - 1) × π
    0.072662353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22827552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732254028320312 × 2 - 1) × π
    -0.464508056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45929509823375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22827552} λ = 0.22827552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45929509823375))-π/2
    2×atan(0.232400036201098)-π/2
    2×0.22834664275035-π/2
    0.456693285500699-1.57079632675     		φ = -1.11410304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22827552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.079224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11410304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.833402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35149 KachelY 47989 0.22827552 -1.11410304 13.079224 -63.833402
    Oben rechts KachelX + 1 35150 KachelY 47989 0.22837139 -1.11410304 13.084717 -63.833402
    Unten links KachelX 35149 KachelY + 1 47990 0.22827552 -1.11414532 13.079224 -63.835825
    Unten rechts KachelX + 1 35150 KachelY + 1 47990 0.22837139 -1.11414532 13.084717 -63.835825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11410304--1.11414532) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dl = 269.365879999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11410304--1.11414532) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dr = 269.365879999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22827552-0.22837139) × cos(-1.11410304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440982696598937 × 6371000     		do = 269.346837864245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22827552-0.22837139) × cos(-1.11414532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440944749245017 × 6371000     		du = 269.323660084567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11410304)-sin(-1.11414532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440982696598937-0.440944749245017)×R²
    abs(0.22837139-0.22827552)×3.79473539199315e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79473539199315e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79473539199315e-05×40589641000000     		ar = 72549.726365647m²