Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35142 / 48826
↖ ↑ ↗
← S 65.789263°
E 13.040772°		 ← 250.48 m → S 65.789263°
E 13.046264°		 →
↑
250.51 m
↓
↑
250.51 m
↓
S 65.791516°
E 13.040772°		 ← 250.46 m →
62 745 m²		 S 65.791516°
E 13.046264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536231994628906 y=0.745033264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536231994628906 × 216)
    floor (0.536231994628906 × 65536)
    floor (35142.5)     		tx = 35142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745033264160156 × 216)
    floor (0.745033264160156 × 65536)
    floor (48826.5)     		ty = 48826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35142 / 48826 ti = "16/35142/48826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35142/48826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35142 ÷ 216
    35142 ÷ 65536     		x = 0.536224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48826 ÷ 216
    48826 ÷ 65536     		y = 0.745025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536224365234375 × 2 - 1) × π
    0.07244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22760440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.49005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53954146819772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22760440} λ = 0.22760440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53954146819772))-π/2
    2×atan(0.214479424520199)-π/2
    2×0.211278531753387-π/2
    0.422557063506773-1.57079632675     		φ = -1.14823926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22760440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.040772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14823926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.789263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35142 KachelY 48826 0.22760440 -1.14823926 13.040772 -65.789263
    Oben rechts KachelX + 1 35143 KachelY 48826 0.22770027 -1.14823926 13.046264 -65.789263
    Unten links KachelX 35142 KachelY + 1 48827 0.22760440 -1.14827858 13.040772 -65.791516
    Unten rechts KachelX + 1 35143 KachelY + 1 48827 0.22770027 -1.14827858 13.046264 -65.791516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14823926--1.14827858) × R
    3.93199999999538e-05 × 6371000     		dl = 250.507719999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14823926--1.14827858) × R
    3.93199999999538e-05 × 6371000     		dr = 250.507719999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22760440-0.22770027) × cos(-1.14823926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41009394683661 × 6371000     		do = 250.480367278826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22760440-0.22770027) × cos(-1.14827858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410058084977615 × 6371000     		du = 250.458463293943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14823926)-sin(-1.14827858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41009394683661-0.410058084977615)×R²
    abs(0.22770027-0.22760440)×3.58618589950122e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58618589950122e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58618589950122e-05×40589641000000     		ar = 62744.5221613686m²