Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35142 / 47946
↖ ↑ ↗
← S 63.729046°
E 13.040772°		 ← 270.34 m → S 63.729046°
E 13.046264°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
S 63.731478°
E 13.040772°		 ← 270.32 m →
73 077 m²		 S 63.731478°
E 13.046264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536231994628906 y=0.731605529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536231994628906 × 216)
    floor (0.536231994628906 × 65536)
    floor (35142.5)     		tx = 35142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731605529785156 × 216)
    floor (0.731605529785156 × 65536)
    floor (47946.5)     		ty = 47946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35142 / 47946 ti = "16/35142/47946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35142/47946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35142 ÷ 216
    35142 ÷ 65536     		x = 0.536224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47946 ÷ 216
    47946 ÷ 65536     		y = 0.731597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536224365234375 × 2 - 1) × π
    0.07244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22760440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.46319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45517252486642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22760440} λ = 0.22760440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45517252486642))-π/2
    2×atan(0.233360100007907)-π/2
    2×0.229257317749519-π/2
    0.458514635499038-1.57079632675     		φ = -1.11228169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22760440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.040772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11228169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.729046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35142 KachelY 47946 0.22760440 -1.11228169 13.040772 -63.729046
    Oben rechts KachelX + 1 35143 KachelY 47946 0.22770027 -1.11228169 13.046264 -63.729046
    Unten links KachelX 35142 KachelY + 1 47947 0.22760440 -1.11232412 13.040772 -63.731478
    Unten rechts KachelX + 1 35143 KachelY + 1 47947 0.22770027 -1.11232412 13.046264 -63.731478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11228169--1.11232412) × R
    4.24299999999267e-05 × 6371000     		dl = 270.321529999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11228169--1.11232412) × R
    4.24299999999267e-05 × 6371000     		dr = 270.321529999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22760440-0.22770027) × cos(-1.11228169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442616654303154 × 6371000     		do = 270.344839246678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22760440-0.22770027) × cos(-1.11232412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442578606459856 × 6371000     		du = 270.321600089317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11228169)-sin(-1.11232412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442616654303154-0.442578606459856)×R²
    abs(0.22770027-0.22760440)×3.80478432974729e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80478432974729e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80478432974729e-05×40589641000000     		ar = 73076.889561303m²