Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35141 / 47948
↖ ↑ ↗
← S 63.733909°
E 13.035279°		 ← 270.30 m → S 63.733909°
E 13.040772°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
S 63.736340°
E 13.035279°		 ← 270.28 m →
73 064 m²		 S 63.736340°
E 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536216735839844 y=0.731636047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536216735839844 × 216)
    floor (0.536216735839844 × 65536)
    floor (35141.5)     		tx = 35141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731636047363281 × 216)
    floor (0.731636047363281 × 65536)
    floor (47948.5)     		ty = 47948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35141 / 47948 ti = "16/35141/47948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35141/47948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35141 ÷ 216
    35141 ÷ 65536     		x = 0.536209106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47948 ÷ 216
    47948 ÷ 65536     		y = 0.73162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536209106445312 × 2 - 1) × π
    0.072418212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22750853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.4632568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4553642724649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22750853} λ = 0.22750853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4553642724649))-π/2
    2×atan(0.233315358058867)-π/2
    2×0.22921488605743-π/2
    0.458429772114859-1.57079632675     		φ = -1.11236655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22750853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.035279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11236655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.733909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35141 KachelY 47948 0.22750853 -1.11236655 13.035279 -63.733909
    Oben rechts KachelX + 1 35142 KachelY 47948 0.22760440 -1.11236655 13.040772 -63.733909
    Unten links KachelX 35141 KachelY + 1 47949 0.22750853 -1.11240898 13.035279 -63.736340
    Unten rechts KachelX + 1 35142 KachelY + 1 47949 0.22760440 -1.11240898 13.040772 -63.736340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11236655--1.11240898) × R
    4.24300000001487e-05 × 6371000     		dl = 270.321530000948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11236655--1.11240898) × R
    4.24300000001487e-05 × 6371000     		dr = 270.321530000948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22750853-0.22760440) × cos(-1.11236655) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.442540557819782 × 6371000     		do = 270.298360445373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22750853-0.22760440) × cos(-1.11240898) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.442502508383 × 6371000     		du = 270.275120314731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11236655)-sin(-1.11240898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442540557819782-0.442502508383)×R²
    abs(0.22760440-0.22750853)×3.80494367820949e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.80494367820949e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.80494367820949e-05×40589641000000     		ar = 73064.3252092302m²