Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35139 / 103354
↖ ↑ ↗
← S 71.463886°
W 83.487854°		 ← 97.10 m → S 71.463886°
W 83.485107°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 71.464759°
W 83.487854°		 ← 97.09 m →
9 427 m²		 S 71.464759°
W 83.485107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268093109130859 y=0.788532257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268093109130859 × 217)
    floor (0.268093109130859 × 131072)
    floor (35139.5)     		tx = 35139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788532257080078 × 217)
    floor (0.788532257080078 × 131072)
    floor (103354.5)     		ty = 103354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35139 / 103354 ti = "17/35139/103354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35139/103354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35139 ÷ 217
    35139 ÷ 131072     		x = 0.268089294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103354 ÷ 217
    103354 ÷ 131072     		y = 0.788528442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268089294433594 × 2 - 1) × π
    -0.463821411132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.45713794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788528442382812 × 2 - 1) × π
    -0.577056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81287766983128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45713794} λ = -1.45713794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81287766983128))-π/2
    2×atan(0.163183871189568)-π/2
    2×0.16175810961344-π/2
    0.323516219226881-1.57079632675     		φ = -1.24728011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45713794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.487854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24728011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.463886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35139 KachelY 103354 -1.45713794 -1.24728011 -83.487854 -71.463886
    Oben rechts KachelX + 1 35140 KachelY 103354 -1.45709000 -1.24728011 -83.485107 -71.463886
    Unten links KachelX 35139 KachelY + 1 103355 -1.45713794 -1.24729535 -83.487854 -71.464759
    Unten rechts KachelX + 1 35140 KachelY + 1 103355 -1.45709000 -1.24729535 -83.485107 -71.464759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24728011--1.24729535) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dl = 97.0940399998212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24728011--1.24729535) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dr = 97.0940399998212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45713794--1.45709000) × cos(-1.24728011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317902326643735 × 6371000     		do = 97.0955533628208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45713794--1.45709000) × cos(-1.24729535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317887877205164 × 6371000     		du = 97.0911401323528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24728011)-sin(-1.24729535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317902326643735-0.317887877205164)×R²
    abs(-1.45709000--1.45713794)×1.44494385704852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44494385704852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44494385704852e-05×40589641000000     		ar = 9427.18529281614m²