Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35138 / 47935
S 63.702289°
E 13.018799°
← 270.63 m → S 63.702289°
E 13.024292°

270.64 m

270.64 m
S 63.704723°
E 13.018799°
← 270.61 m →
73 240 m²
S 63.704723°
E 13.024292°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536170959472656 y=0.731437683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536170959472656 × 216)
    floor (0.536170959472656 × 65536)
    floor (35138.5)
    tx = 35138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731437683105469 × 216)
    floor (0.731437683105469 × 65536)
    floor (47935.5)
    ty = 47935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35138 / 47935 ti = "16/35138/47935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35138/47935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35138 ÷ 216
    35138 ÷ 65536
    x = 0.536163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47935 ÷ 216
    47935 ÷ 65536
    y = 0.731430053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.536163330078125 × 2 - 1) × π
    0.07232666015625 × 3.1415926535
    Λ = 0.22722090
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.731430053710938 × 2 - 1) × π
    -0.462860107421875 × 3.1415926535
    Φ = -1.45411791307478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22722090} λ = 0.22722090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45411791307478))-π/2
    2×atan(0.233606334138961)-π/2
    2×0.229490822505038-π/2
    0.458981645010076-1.57079632675
    φ = -1.11181468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22722090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.018799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11181468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.702289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35138 KachelY 47935 0.22722090 -1.11181468 13.018799 -63.702289
    Oben rechts KachelX + 1 35139 KachelY 47935 0.22731678 -1.11181468 13.024292 -63.702289
    Unten links KachelX 35138 KachelY + 1 47936 0.22722090 -1.11185716 13.018799 -63.704723
    Unten rechts KachelX + 1 35139 KachelY + 1 47936 0.22731678 -1.11185716 13.024292 -63.704723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.11181468--1.11185716) × R
    4.24800000000669e-05 × 6371000
    dl = 270.640080000426m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.11181468--1.11185716) × R
    4.24800000000669e-05 × 6371000
    dr = 270.640080000426m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.22722090-0.22731678) × cos(-1.11181468) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.443035378993766 × 6371000
    do = 270.628816950682m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.22722090-0.22731678) × cos(-1.11185716) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.442997295098646 × 6371000
    du = 270.605553346984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.11181468)-sin(-1.11185716))×
    abs(λ12)×abs(0.443035378993766-0.442997295098646)×
    abs(0.22731678-0.22722090)×3.80838951200002e-05×
    9.58799999999926e-05×3.80838951200002e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80838951200002e-05×40589641000000
    ar = 73239.856648852m²