Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35138 / 103362
↖ ↑ ↗
← S 71.470870°
W 83.490600°		 ← 97.04 m → S 71.470870°
W 83.487854°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
S 71.471743°
W 83.490600°		 ← 97.04 m →
9 416 m²		 S 71.471743°
W 83.487854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268085479736328 y=0.788593292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268085479736328 × 217)
    floor (0.268085479736328 × 131072)
    floor (35138.5)     		tx = 35138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788593292236328 × 217)
    floor (0.788593292236328 × 131072)
    floor (103362.5)     		ty = 103362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35138 / 103362 ti = "17/35138/103362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35138/103362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35138 ÷ 217
    35138 ÷ 131072     		x = 0.268081665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103362 ÷ 217
    103362 ÷ 131072     		y = 0.788589477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268081665039062 × 2 - 1) × π
    -0.463836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45718587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788589477539062 × 2 - 1) × π
    -0.577178955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81326116502824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45718587} λ = -1.45718587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81326116502824))-π/2
    2×atan(0.16312130295682)-π/2
    2×0.161697163686129-π/2
    0.323394327372259-1.57079632675     		φ = -1.24740200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45718587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.490600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24740200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.470870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35138 KachelY 103362 -1.45718587 -1.24740200 -83.490600 -71.470870
    Oben rechts KachelX + 1 35139 KachelY 103362 -1.45713794 -1.24740200 -83.487854 -71.470870
    Unten links KachelX 35138 KachelY + 1 103363 -1.45718587 -1.24741723 -83.490600 -71.471743
    Unten rechts KachelX + 1 35139 KachelY + 1 103363 -1.45713794 -1.24741723 -83.487854 -71.471743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24740200--1.24741723) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24740200--1.24741723) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45718587--1.45713794) × cos(-1.24740200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317786757512933 × 6371000     		do = 97.0400093813263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45718587--1.45713794) × cos(-1.24741723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317772316965617 × 6371000     		du = 97.0355997864836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24740200)-sin(-1.24741723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317786757512933-0.317772316965617)×R²
    abs(-1.45713794--1.45718587)×1.44405473158082e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44405473158082e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44405473158082e-05×40589641000000     		ar = 9415.6102013746m²