Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35135 / 48069
↖ ↑ ↗
← S 64.026527°
E 13.002319°		 ← 267.53 m → S 64.026527°
E 13.007813°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
S 64.028933°
E 13.002319°		 ← 267.50 m →
71 565 m²		 S 64.028933°
E 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536125183105469 y=0.733482360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536125183105469 × 216)
    floor (0.536125183105469 × 65536)
    floor (35135.5)     		tx = 35135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733482360839844 × 216)
    floor (0.733482360839844 × 65536)
    floor (48069.5)     		ty = 48069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35135 / 48069 ti = "16/35135/48069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35135/48069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35135 ÷ 216
    35135 ÷ 65536     		x = 0.536117553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48069 ÷ 216
    48069 ÷ 65536     		y = 0.733474731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536117553710938 × 2 - 1) × π
    0.072235107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22693328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733474731445312 × 2 - 1) × π
    -0.466949462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46696500217296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22693328} λ = 0.22693328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46696500217296))-π/2
    2×atan(0.230624368552932)-π/2
    2×0.226661305967024-π/2
    0.453322611934048-1.57079632675     		φ = -1.11747371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22693328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.002319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11747371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.026527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35135 KachelY 48069 0.22693328 -1.11747371 13.002319 -64.026527
    Oben rechts KachelX + 1 35136 KachelY 48069 0.22702916 -1.11747371 13.007813 -64.026527
    Unten links KachelX 35135 KachelY + 1 48070 0.22693328 -1.11751570 13.002319 -64.028933
    Unten rechts KachelX + 1 35136 KachelY + 1 48070 0.22702916 -1.11751570 13.007813 -64.028933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11747371--1.11751570) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dl = 267.518289999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11747371--1.11751570) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dr = 267.518289999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22693328-0.22702916) × cos(-1.11747371) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.43795496831134 × 6371000     		do = 267.525440566392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22693328-0.22702916) × cos(-1.11751570) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.437917219044972 × 6371000     		du = 267.502381371162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11747371)-sin(-1.11751570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43795496831134-0.437917219044972)×R²
    abs(0.22702916-0.22693328)×3.77492663681256e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.77492663681256e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.77492663681256e-05×40589641000000     		ar = 71564.8640240698m²