Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35134 / 47970
↖ ↑ ↗
← S 63.787339°
E 12.996826°		 ← 269.79 m → S 63.787339°
E 13.002319°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
S 63.789766°
E 12.996826°		 ← 269.76 m →
72 789 m²		 S 63.789766°
E 13.002319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536109924316406 y=0.731971740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536109924316406 × 216)
    floor (0.536109924316406 × 65536)
    floor (35134.5)     		tx = 35134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731971740722656 × 216)
    floor (0.731971740722656 × 65536)
    floor (47970.5)     		ty = 47970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35134 / 47970 ti = "16/35134/47970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35134/47970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35134 ÷ 216
    35134 ÷ 65536     		x = 0.536102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47970 ÷ 216
    47970 ÷ 65536     		y = 0.731964111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536102294921875 × 2 - 1) × π
    0.07220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22683741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731964111328125 × 2 - 1) × π
    -0.46392822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45747349604819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22683741} λ = 0.22683741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45747349604819))-π/2
    2×atan(0.232823762428108)-π/2
    2×0.228748618737028-π/2
    0.457497237474057-1.57079632675     		φ = -1.11329909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22683741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.996826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11329909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.787339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35134 KachelY 47970 0.22683741 -1.11329909 12.996826 -63.787339
    Oben rechts KachelX + 1 35135 KachelY 47970 0.22693328 -1.11329909 13.002319 -63.787339
    Unten links KachelX 35134 KachelY + 1 47971 0.22683741 -1.11334144 12.996826 -63.789766
    Unten rechts KachelX + 1 35135 KachelY + 1 47971 0.22693328 -1.11334144 13.002319 -63.789766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11329909--1.11334144) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dl = 269.811849999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11329909--1.11334144) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dr = 269.811849999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22683741-0.22693328) × cos(-1.11329909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441704111680485 × 6371000     		do = 269.787469373148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22683741-0.22693328) × cos(-1.11334144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441666116525064 × 6371000     		du = 269.764262396898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11329909)-sin(-1.11334144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441704111680485-0.441666116525064)×R²
    abs(0.22693328-0.22683741)×3.79951554210778e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79951554210778e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79951554210778e-05×40589641000000     		ar = 72788.7254706238m²