Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35134 / 103366
↖ ↑ ↗
← S 71.474361°
W 83.501587°		 ← 97.02 m → S 71.474361°
W 83.498841°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
S 71.475234°
W 83.501587°		 ← 97.02 m →
9 414 m²		 S 71.475234°
W 83.498841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268054962158203 y=0.788623809814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268054962158203 × 217)
    floor (0.268054962158203 × 131072)
    floor (35134.5)     		tx = 35134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788623809814453 × 217)
    floor (0.788623809814453 × 131072)
    floor (103366.5)     		ty = 103366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35134 / 103366 ti = "17/35134/103366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35134/103366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35134 ÷ 217
    35134 ÷ 131072     		x = 0.268051147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103366 ÷ 217
    103366 ÷ 131072     		y = 0.788619995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268051147460938 × 2 - 1) × π
    -0.463897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45737762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788619995117188 × 2 - 1) × π
    -0.577239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81345291262672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45737762} λ = -1.45737762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81345291262672))-π/2
    2×atan(0.163090027837278)-π/2
    2×0.161666699031745-π/2
    0.32333339806349-1.57079632675     		φ = -1.24746293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45737762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.501587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24746293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.474361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35134 KachelY 103366 -1.45737762 -1.24746293 -83.501587 -71.474361
    Oben rechts KachelX + 1 35135 KachelY 103366 -1.45732969 -1.24746293 -83.498841 -71.474361
    Unten links KachelX 35134 KachelY + 1 103367 -1.45737762 -1.24747816 -83.501587 -71.475234
    Unten rechts KachelX + 1 35135 KachelY + 1 103367 -1.45732969 -1.24747816 -83.498841 -71.475234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24746293--1.24747816) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24746293--1.24747816) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45737762--1.45732969) × cos(-1.24746293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317728985399618 × 6371000     		do = 97.0223679715271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45737762--1.45732969) × cos(-1.24747816) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317714544557441 × 6371000     		du = 97.0179582866451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24746293)-sin(-1.24747816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317728985399618-0.317714544557441)×R²
    abs(-1.45732969--1.45737762)×1.44408421768882e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44408421768882e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44408421768882e-05×40589641000000     		ar = 9413.89844523496m²