Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35134 / 103067
↖ ↑ ↗
← S 71.211653°
W 83.501587°		 ← 98.35 m → S 71.211653°
W 83.498841°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 71.212538°
W 83.501587°		 ← 98.34 m →
9 674 m²		 S 71.212538°
W 83.498841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268054962158203 y=0.786342620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268054962158203 × 217)
    floor (0.268054962158203 × 131072)
    floor (35134.5)     		tx = 35134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786342620849609 × 217)
    floor (0.786342620849609 × 131072)
    floor (103067.5)     		ty = 103067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35134 / 103067 ti = "17/35134/103067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35134/103067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35134 ÷ 217
    35134 ÷ 131072     		x = 0.268051147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103067 ÷ 217
    103067 ÷ 131072     		y = 0.786338806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268051147460938 × 2 - 1) × π
    -0.463897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45737762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786338806152344 × 2 - 1) × π
    -0.572677612304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.79911977964033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45737762} λ = -1.45737762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79911977964033))-π/2
    2×atan(0.165444451723011)-π/2
    2×0.163959260129111-π/2
    0.327918520258222-1.57079632675     		φ = -1.24287781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45737762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.501587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24287781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.211653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35134 KachelY 103067 -1.45737762 -1.24287781 -83.501587 -71.211653
    Oben rechts KachelX + 1 35135 KachelY 103067 -1.45732969 -1.24287781 -83.498841 -71.211653
    Unten links KachelX 35134 KachelY + 1 103068 -1.45737762 -1.24289325 -83.501587 -71.212538
    Unten rechts KachelX + 1 35135 KachelY + 1 103068 -1.45732969 -1.24289325 -83.498841 -71.212538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24287781--1.24289325) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dl = 98.3682400005652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24287781--1.24289325) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dr = 98.3682400005652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45737762--1.45732969) × cos(-1.24287781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32207315659775 × 6371000     		do = 98.3489129072571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45737762--1.45732969) × cos(-1.24289325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322058539283099 × 6371000     		du = 98.3444493343821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24287781)-sin(-1.24289325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32207315659775-0.322058539283099)×R²
    abs(-1.45732969--1.45737762)×1.4617314650911e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4617314650911e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4617314650911e-05×40589641000000     		ar = 9674.18993190398m²