Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35133 / 48012
↖ ↑ ↗
← S 63.889062°
E 12.991333°		 ← 268.81 m → S 63.889062°
E 12.996826°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
S 63.891479°
E 12.991333°		 ← 268.79 m →
72 252 m²		 S 63.891479°
E 12.996826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536094665527344 y=0.732612609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536094665527344 × 216)
    floor (0.536094665527344 × 65536)
    floor (35133.5)     		tx = 35133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732612609863281 × 216)
    floor (0.732612609863281 × 65536)
    floor (48012.5)     		ty = 48012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35133 / 48012 ti = "16/35133/48012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35133/48012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35133 ÷ 216
    35133 ÷ 65536     		x = 0.536087036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48012 ÷ 216
    48012 ÷ 65536     		y = 0.73260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536087036132812 × 2 - 1) × π
    0.072174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22674154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.4652099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46150019561627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22674154} λ = 0.22674154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46150019561627))-π/2
    2×atan(0.231888136091792)-π/2
    2×0.227860918742134-π/2
    0.455721837484269-1.57079632675     		φ = -1.11507449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22674154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.991333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11507449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.889062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35133 KachelY 48012 0.22674154 -1.11507449 12.991333 -63.889062
    Oben rechts KachelX + 1 35134 KachelY 48012 0.22683741 -1.11507449 12.996826 -63.889062
    Unten links KachelX 35133 KachelY + 1 48013 0.22674154 -1.11511668 12.991333 -63.891479
    Unten rechts KachelX + 1 35134 KachelY + 1 48013 0.22683741 -1.11511668 12.996826 -63.891479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11507449--1.11511668) × R
    4.2190000000053e-05 × 6371000     		dl = 268.792490000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11507449--1.11511668) × R
    4.2190000000053e-05 × 6371000     		dr = 268.792490000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22674154-0.22683741) × cos(-1.11507449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440110597120553 × 6371000     		do = 268.814170168625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22674154-0.22683741) × cos(-1.11511668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440072712489474 × 6371000     		du = 268.791030699291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11507449)-sin(-1.11511668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440110597120553-0.440072712489474)×R²
    abs(0.22683741-0.22674154)×3.78846310785108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78846310785108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78846310785108e-05×40589641000000     		ar = 72252.1202998171m²