Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35133 / 103365
↖ ↑ ↗
← S 71.473488°
W 83.504334°		 ← 97.05 m → S 71.473488°
W 83.501587°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
S 71.474361°
W 83.504334°		 ← 97.04 m →
9 416 m²		 S 71.474361°
W 83.501587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268047332763672 y=0.788616180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268047332763672 × 217)
    floor (0.268047332763672 × 131072)
    floor (35133.5)     		tx = 35133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788616180419922 × 217)
    floor (0.788616180419922 × 131072)
    floor (103365.5)     		ty = 103365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35133 / 103365 ti = "17/35133/103365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35133/103365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35133 ÷ 217
    35133 ÷ 131072     		x = 0.268043518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103365 ÷ 217
    103365 ÷ 131072     		y = 0.788612365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268043518066406 × 2 - 1) × π
    -0.463912963867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.45742556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788612365722656 × 2 - 1) × π
    -0.577224731445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.8134049757271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45742556} λ = -1.45742556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8134049757271))-π/2
    2×atan(0.16309784605496)-π/2
    2×0.161674314676088-π/2
    0.323348629352177-1.57079632675     		φ = -1.24744770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45742556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.504334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24744770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.473488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35133 KachelY 103365 -1.45742556 -1.24744770 -83.504334 -71.473488
    Oben rechts KachelX + 1 35134 KachelY 103365 -1.45737762 -1.24744770 -83.501587 -71.473488
    Unten links KachelX 35133 KachelY + 1 103366 -1.45742556 -1.24746293 -83.504334 -71.474361
    Unten rechts KachelX + 1 35134 KachelY + 1 103366 -1.45737762 -1.24746293 -83.501587 -71.474361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24744770--1.24746293) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24744770--1.24746293) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45742556--1.45737762) × cos(-1.24744770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317743426168097 × 6371000     		do = 97.0470210674627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45742556--1.45737762) × cos(-1.24746293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317728985399618 × 6371000     		du = 97.0426104850639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24744770)-sin(-1.24746293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317743426168097-0.317728985399618)×R²
    abs(-1.45737762--1.45742556)×1.44407684787851e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44407684787851e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44407684787851e-05×40589641000000     		ar = 9416.29049982463m²