Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35133 / 103361
↖ ↑ ↗
← S 71.469997°
W 83.504334°		 ← 97.06 m → S 71.469997°
W 83.501587°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
S 71.470870°
W 83.504334°		 ← 97.06 m →
9 418 m²		 S 71.470870°
W 83.501587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268047332763672 y=0.788585662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268047332763672 × 217)
    floor (0.268047332763672 × 131072)
    floor (35133.5)     		tx = 35133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788585662841797 × 217)
    floor (0.788585662841797 × 131072)
    floor (103361.5)     		ty = 103361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35133 / 103361 ti = "17/35133/103361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35133/103361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35133 ÷ 217
    35133 ÷ 131072     		x = 0.268043518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103361 ÷ 217
    103361 ÷ 131072     		y = 0.788581848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268043518066406 × 2 - 1) × π
    -0.463912963867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.45742556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788581848144531 × 2 - 1) × π
    -0.577163696289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.81321322812862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45742556} λ = -1.45742556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81321322812862))-π/2
    2×atan(0.163129122673771)-π/2
    2×0.161704780715193-π/2
    0.323409561430386-1.57079632675     		φ = -1.24738677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45742556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.504334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24738677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.469997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35133 KachelY 103361 -1.45742556 -1.24738677 -83.504334 -71.469997
    Oben rechts KachelX + 1 35134 KachelY 103361 -1.45737762 -1.24738677 -83.501587 -71.469997
    Unten links KachelX 35133 KachelY + 1 103362 -1.45742556 -1.24740200 -83.504334 -71.470870
    Unten rechts KachelX + 1 35134 KachelY + 1 103362 -1.45737762 -1.24740200 -83.501587 -71.470870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24738677--1.24740200) × R
    1.52299999998107e-05 × 6371000     		dl = 97.0303299987938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24738677--1.24740200) × R
    1.52299999998107e-05 × 6371000     		dr = 97.0303299987938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45742556--1.45737762) × cos(-1.24738677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317801197986537 × 6371000     		do = 97.0646660678608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45742556--1.45737762) × cos(-1.24740200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317786757512933 × 6371000     		du = 97.0602555755244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24738677)-sin(-1.24740200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317801197986537-0.317786757512933)×R²
    abs(-1.45737762--1.45742556)×1.44404736039938e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44404736039938e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44404736039938e-05×40589641000000     		ar = 9418.00260424353m²