Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35132 / 48023
↖ ↑ ↗
← S 63.915643°
E 12.985840°		 ← 268.59 m → S 63.915643°
E 12.991333°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
S 63.918058°
E 12.985840°		 ← 268.56 m →
72 123 m²		 S 63.918058°
E 12.991333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536079406738281 y=0.732780456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536079406738281 × 216)
    floor (0.536079406738281 × 65536)
    floor (35132.5)     		tx = 35132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732780456542969 × 216)
    floor (0.732780456542969 × 65536)
    floor (48023.5)     		ty = 48023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35132 / 48023 ti = "16/35132/48023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35132/48023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35132 ÷ 216
    35132 ÷ 65536     		x = 0.53607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48023 ÷ 216
    48023 ÷ 65536     		y = 0.732772827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53607177734375 × 2 - 1) × π
    0.0721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22664566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732772827148438 × 2 - 1) × π
    -0.465545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46255480740791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22664566} λ = 0.22664566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46255480740791))-π/2
    2×atan(0.2316437130375)-π/2
    2×0.2276289556872-π/2
    0.4552579113744-1.57079632675     		φ = -1.11553842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22664566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.985840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11553842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.915643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35132 KachelY 48023 0.22664566 -1.11553842 12.985840 -63.915643
    Oben rechts KachelX + 1 35133 KachelY 48023 0.22674154 -1.11553842 12.991333 -63.915643
    Unten links KachelX 35132 KachelY + 1 48024 0.22664566 -1.11558057 12.985840 -63.918058
    Unten rechts KachelX + 1 35133 KachelY + 1 48024 0.22674154 -1.11558057 12.991333 -63.918058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11553842--1.11558057) × R
    4.21500000000741e-05 × 6371000     		dl = 268.537650000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11553842--1.11558057) × R
    4.21500000000741e-05 × 6371000     		dr = 268.537650000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22664566-0.22674154) × cos(-1.11553842) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.439693966810424 × 6371000     		do = 268.587710373198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22664566-0.22674154) × cos(-1.11558057) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.439656109496066 × 6371000     		du = 268.564585176693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11553842)-sin(-1.11558057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439693966810424-0.439656109496066)×R²
    abs(0.22674154-0.22664566)×3.78573143581806e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.78573143581806e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.78573143581806e-05×40589641000000     		ar = 72122.807580059m²