Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35130 / 47937
↖ ↑ ↗
← S 63.707156°
E 12.974853°		 ← 270.58 m → S 63.707156°
E 12.980347°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
S 63.709589°
E 12.974853°		 ← 270.56 m →
73 193 m²		 S 63.709589°
E 12.980347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536048889160156 y=0.731468200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536048889160156 × 216)
    floor (0.536048889160156 × 65536)
    floor (35130.5)     		tx = 35130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731468200683594 × 216)
    floor (0.731468200683594 × 65536)
    floor (47937.5)     		ty = 47937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35130 / 47937 ti = "16/35130/47937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35130/47937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35130 ÷ 216
    35130 ÷ 65536     		x = 0.536041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47937 ÷ 216
    47937 ÷ 65536     		y = 0.731460571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536041259765625 × 2 - 1) × π
    0.07208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22645391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731460571289062 × 2 - 1) × π
    -0.462921142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45430966067326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22645391} λ = 0.22645391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45430966067326))-π/2
    2×atan(0.233561544979644)-π/2
    2×0.229448350670873-π/2
    0.458896701341746-1.57079632675     		φ = -1.11189963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22645391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.974853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11189963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.707156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35130 KachelY 47937 0.22645391 -1.11189963 12.974853 -63.707156
    Oben rechts KachelX + 1 35131 KachelY 47937 0.22654979 -1.11189963 12.980347 -63.707156
    Unten links KachelX 35130 KachelY + 1 47938 0.22645391 -1.11194209 12.974853 -63.709589
    Unten rechts KachelX + 1 35131 KachelY + 1 47938 0.22654979 -1.11194209 12.980347 -63.709589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11189963--1.11194209) × R
    4.24600000001885e-05 × 6371000     		dl = 270.512660001201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11189963--1.11194209) × R
    4.24600000001885e-05 × 6371000     		dr = 270.512660001201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22645391-0.22654979) × cos(-1.11189963) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.442959219369533 × 6371000     		do = 270.582294731503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22645391-0.22654979) × cos(-1.11194209) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44292115180706 × 6371000     		du = 270.559041104626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11189963)-sin(-1.11194209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442959219369533-0.44292115180706)×R²
    abs(0.22654979-0.22645391)×3.80675624735982e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80675624735982e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80675624735982e-05×40589641000000     		ar = 73192.7911075261m²