Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3513 / 4018
↖ ↑ ↗
← N 79.331152°
W141.405029°		 ← 226.16 m → N 79.331152°
W141.394043°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
N 79.329118°
W141.405029°		 ← 226.21 m →
51 157 m²		 N 79.329118°
W141.394043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107223510742188 y=0.122634887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107223510742188 × 215)
    floor (0.107223510742188 × 32768)
    floor (3513.5)     		tx = 3513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122634887695312 × 215)
    floor (0.122634887695312 × 32768)
    floor (4018.5)     		ty = 4018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3513 / 4018 ti = "15/3513/4018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3513/4018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3513 ÷ 215
    3513 ÷ 32768     		x = 0.107208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4018 ÷ 215
    4018 ÷ 32768     		y = 0.12261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107208251953125 × 2 - 1) × π
    -0.78558349609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46798334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12261962890625 × 2 - 1) × π
    0.7547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37115080280646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46798334} λ = -2.46798334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37115080280646))-π/2
    2×atan(10.7097099594216)-π/2
    2×1.47769306564964-π/2
    2.95538613129929-1.57079632675     		φ = 1.38458980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46798334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.405029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38458980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.331152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3513 KachelY 4018 -2.46798334 1.38458980 -141.405029 79.331152
    Oben rechts KachelX + 1 3514 KachelY 4018 -2.46779159 1.38458980 -141.394043 79.331152
    Unten links KachelX 3513 KachelY + 1 4019 -2.46798334 1.38455430 -141.405029 79.329118
    Unten rechts KachelX + 1 3514 KachelY + 1 4019 -2.46779159 1.38455430 -141.394043 79.329118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38458980-1.38455430) × R
    3.55000000000771e-05 × 6371000     		dl = 226.170500000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38458980-1.38455430) × R
    3.55000000000771e-05 × 6371000     		dr = 226.170500000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46798334--2.46779159) × cos(1.38458980) × R
    0.000191749999999935 × 0.185132338278268 × 6371000     		do = 226.164930884933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46798334--2.46779159) × cos(1.38455430) × R
    0.000191749999999935 × 0.185167224494363 × 6371000     		du = 226.207549255799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38458980)-sin(1.38455430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185132338278268-0.185167224494363)×R²
    abs(-2.46779159--2.46798334)×3.48862160946817e-05×R²
    0.000191749999999935×3.48862160946817e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.48862160946817e-05×40589641000000     		ar = 51156.6550153658m²