Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35128 / 48056
↖ ↑ ↗
← S 63.995235°
E 12.963867°		 ← 267.80 m → S 63.995235°
E 12.969360°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
S 63.997643°
E 12.963867°		 ← 267.77 m →
71 706 m²		 S 63.997643°
E 12.969360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536018371582031 y=0.733283996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536018371582031 × 216)
    floor (0.536018371582031 × 65536)
    floor (35128.5)     		tx = 35128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733283996582031 × 216)
    floor (0.733283996582031 × 65536)
    floor (48056.5)     		ty = 48056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35128 / 48056 ti = "16/35128/48056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35128/48056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35128 ÷ 216
    35128 ÷ 65536     		x = 0.5360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48056 ÷ 216
    48056 ÷ 65536     		y = 0.7332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5360107421875 × 2 - 1) × π
    0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.466552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46571864278284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22626217} λ = 0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46571864278284))-π/2
    2×atan(0.230911988602011)-π/2
    2×0.226934383553834-π/2
    0.453868767107667-1.57079632675     		φ = -1.11692756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11692756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.995235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35128 KachelY 48056 0.22626217 -1.11692756 12.963867 -63.995235
    Oben rechts KachelX + 1 35129 KachelY 48056 0.22635804 -1.11692756 12.969360 -63.995235
    Unten links KachelX 35128 KachelY + 1 48057 0.22626217 -1.11696959 12.963867 -63.997643
    Unten rechts KachelX + 1 35129 KachelY + 1 48057 0.22635804 -1.11696959 12.969360 -63.997643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11692756--1.11696959) × R
    4.20300000001372e-05 × 6371000     		dl = 267.773130000874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11692756--1.11696959) × R
    4.20300000001372e-05 × 6371000     		dr = 267.773130000874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22626217-0.22635804) × cos(-1.11692756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438445890133233 × 6371000     		do = 267.797387500137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22626217-0.22635804) × cos(-1.11696959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438408114964572 × 6371000     		du = 267.774314889108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11692756)-sin(-1.11696959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438445890133233-0.438408114964572)×R²
    abs(0.22635804-0.22626217)×3.77751686614358e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77751686614358e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77751686614358e-05×40589641000000     		ar = 71705.8555548885m²