Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35127 / 48059
↖ ↑ ↗
← S 64.002460°
E 12.958374°		 ← 267.76 m → S 64.002460°
E 12.963867°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
S 64.004867°
E 12.958374°		 ← 267.73 m →
71 678 m²		 S 64.004867°
E 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536003112792969 y=0.733329772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536003112792969 × 216)
    floor (0.536003112792969 × 65536)
    floor (35127.5)     		tx = 35127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733329772949219 × 216)
    floor (0.733329772949219 × 65536)
    floor (48059.5)     		ty = 48059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35127 / 48059 ti = "16/35127/48059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35127/48059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35127 ÷ 216
    35127 ÷ 65536     		x = 0.535995483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48059 ÷ 216
    48059 ÷ 65536     		y = 0.733322143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535995483398438 × 2 - 1) × π
    0.071990966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22616629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733322143554688 × 2 - 1) × π
    -0.466644287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46600626418056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22616629} λ = 0.22616629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46600626418056))-π/2
    2×atan(0.230845582923404)-π/2
    2×0.226871338493073-π/2
    0.453742676986147-1.57079632675     		φ = -1.11705365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22616629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.958374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11705365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.002460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35127 KachelY 48059 0.22616629 -1.11705365 12.958374 -64.002460
    Oben rechts KachelX + 1 35128 KachelY 48059 0.22626217 -1.11705365 12.963867 -64.002460
    Unten links KachelX 35127 KachelY + 1 48060 0.22616629 -1.11709567 12.958374 -64.004867
    Unten rechts KachelX + 1 35128 KachelY + 1 48060 0.22626217 -1.11709567 12.963867 -64.004867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11705365--1.11709567) × R
    4.2020000000198e-05 × 6371000     		dl = 267.709420001262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11705365--1.11709567) × R
    4.2020000000198e-05 × 6371000     		dr = 267.709420001262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22616629-0.22626217) × cos(-1.11705365) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.438332562303945 × 6371000     		do = 267.756094415614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22616629-0.22626217) × cos(-1.11709567) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.438294793800425 × 6371000     		du = 267.733023469341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11705365)-sin(-1.11709567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438332562303945-0.438294793800425)×R²
    abs(0.22626217-0.22616629)×3.77685035197195e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.77685035197195e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.77685035197195e-05×40589641000000     		ar = 71677.7405934259m²