Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35123 / 48057
↖ ↑ ↗
← S 63.997643°
E 12.936402°		 ← 267.77 m → S 63.997643°
E 12.941894°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
S 64.000051°
E 12.936402°		 ← 267.75 m →
71 700 m²		 S 64.000051°
E 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535942077636719 y=0.733299255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535942077636719 × 216)
    floor (0.535942077636719 × 65536)
    floor (35123.5)     		tx = 35123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733299255371094 × 216)
    floor (0.733299255371094 × 65536)
    floor (48057.5)     		ty = 48057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35123 / 48057 ti = "16/35123/48057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35123/48057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35123 ÷ 216
    35123 ÷ 65536     		x = 0.535934448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48057 ÷ 216
    48057 ÷ 65536     		y = 0.733291625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535934448242188 × 2 - 1) × π
    0.071868896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22578280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733291625976562 × 2 - 1) × π
    -0.466583251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46581451658208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22578280} λ = 0.22578280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46581451658208))-π/2
    2×atan(0.230889851253586)-π/2
    2×0.226913366722697-π/2
    0.453826733445394-1.57079632675     		φ = -1.11696959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22578280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.936402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11696959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.997643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35123 KachelY 48057 0.22578280 -1.11696959 12.936402 -63.997643
    Oben rechts KachelX + 1 35124 KachelY 48057 0.22587867 -1.11696959 12.941894 -63.997643
    Unten links KachelX 35123 KachelY + 1 48058 0.22578280 -1.11701162 12.936402 -64.000051
    Unten rechts KachelX + 1 35124 KachelY + 1 48058 0.22587867 -1.11701162 12.941894 -64.000051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11696959--1.11701162) × R
    4.20299999999152e-05 × 6371000     		dl = 267.77312999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11696959--1.11701162) × R
    4.20299999999152e-05 × 6371000     		dr = 267.77312999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22578280-0.22587867) × cos(-1.11696959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438408114964572 × 6371000     		do = 267.774314889108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22578280-0.22587867) × cos(-1.11701162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438370339021453 × 6371000     		du = 267.751241805052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11696959)-sin(-1.11701162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438408114964572-0.438370339021453)×R²
    abs(0.22587867-0.22578280)×3.77759431182678e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77759431182678e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77759431182678e-05×40589641000000     		ar = 71699.6772657789m²