Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35122 / 48849
↖ ↑ ↗
← S 65.841024°
E 12.930908°		 ← 250 m → S 65.841024°
E 12.936402°		 →
↑
250 m
↓
↑
250 m
↓
S 65.843272°
E 12.930908°		 ← 249.98 m →
62 498 m²		 S 65.843272°
E 12.936402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535926818847656 y=0.745384216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535926818847656 × 216)
    floor (0.535926818847656 × 65536)
    floor (35122.5)     		tx = 35122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745384216308594 × 216)
    floor (0.745384216308594 × 65536)
    floor (48849.5)     		ty = 48849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35122 / 48849 ti = "16/35122/48849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35122/48849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35122 ÷ 216
    35122 ÷ 65536     		x = 0.535919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48849 ÷ 216
    48849 ÷ 65536     		y = 0.745376586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535919189453125 × 2 - 1) × π
    0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745376586914062 × 2 - 1) × π
    -0.490753173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54174656558025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22568692} λ = 0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54174656558025))-π/2
    2×atan(0.214006997567732)-π/2
    2×0.210826837637109-π/2
    0.421653675274217-1.57079632675     		φ = -1.14914265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14914265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.841024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35122 KachelY 48849 0.22568692 -1.14914265 12.930908 -65.841024
    Oben rechts KachelX + 1 35123 KachelY 48849 0.22578280 -1.14914265 12.936402 -65.841024
    Unten links KachelX 35122 KachelY + 1 48850 0.22568692 -1.14918189 12.930908 -65.843272
    Unten rechts KachelX + 1 35123 KachelY + 1 48850 0.22578280 -1.14918189 12.936402 -65.843272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14914265--1.14918189) × R
    3.92399999999959e-05 × 6371000     		dl = 249.998039999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14914265--1.14918189) × R
    3.92399999999959e-05 × 6371000     		dr = 249.998039999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22568692-0.22578280) × cos(-1.14914265) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.409269848823332 × 6371000     		do = 250.003092873089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22568692-0.22578280) × cos(-1.14918189) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.409234045406899 × 6371000     		du = 249.981222303172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14914265)-sin(-1.14918189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409269848823332-0.409234045406899)×R²
    abs(0.22578280-0.22568692)×3.58034164333887e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.58034164333887e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.58034164333887e-05×40589641000000     		ar = 62497.5494201207m²