Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35120 / 48435
↖ ↑ ↗
← S 64.893259°
E 12.919922°		 ← 259.16 m → S 64.893259°
E 12.925415°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
S 64.895589°
E 12.919922°		 ← 259.14 m →
67 148 m²		 S 64.895589°
E 12.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535896301269531 y=0.739067077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535896301269531 × 216)
    floor (0.535896301269531 × 65536)
    floor (35120.5)     		tx = 35120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739067077636719 × 216)
    floor (0.739067077636719 × 65536)
    floor (48435.5)     		ty = 48435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35120 / 48435 ti = "16/35120/48435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35120/48435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35120 ÷ 216
    35120 ÷ 65536     		x = 0.535888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48435 ÷ 216
    48435 ÷ 65536     		y = 0.739059448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535888671875 × 2 - 1) × π
    0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739059448242188 × 2 - 1) × π
    -0.478118896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50205481269484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22549518} λ = 0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50205481269484))-π/2
    2×atan(0.222672140196518)-π/2
    2×0.219097650365847-π/2
    0.438195300731693-1.57079632675     		φ = -1.13260103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13260103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.893259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35120 KachelY 48435 0.22549518 -1.13260103 12.919922 -64.893259
    Oben rechts KachelX + 1 35121 KachelY 48435 0.22559105 -1.13260103 12.925415 -64.893259
    Unten links KachelX 35120 KachelY + 1 48436 0.22549518 -1.13264170 12.919922 -64.895589
    Unten rechts KachelX + 1 35121 KachelY + 1 48436 0.22559105 -1.13264170 12.925415 -64.895589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13260103--1.13264170) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dl = 259.108569999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13260103--1.13264170) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dr = 259.108569999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22549518-0.22559105) × cos(-1.13260103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424305964093533 × 6371000     		do = 259.160893606383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22549518-0.22559105) × cos(-1.13264170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424269136289629 × 6371000     		du = 259.138399634163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13260103)-sin(-1.13264170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424305964093533-0.424269136289629)×R²
    abs(0.22559105-0.22549518)×3.68278039034609e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68278039034609e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68278039034609e-05×40589641000000     		ar = 67147.8943612024m²