Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35120 / 102960
↖ ↑ ↗
← S 71.116771°
W 83.540039°		 ← 98.85 m → S 71.116771°
W 83.537292°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.117659°
W 83.540039°		 ← 98.84 m →
9 767 m²		 S 71.117659°
W 83.537292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267948150634766 y=0.785526275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267948150634766 × 217)
    floor (0.267948150634766 × 131072)
    floor (35120.5)     		tx = 35120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785526275634766 × 217)
    floor (0.785526275634766 × 131072)
    floor (102960.5)     		ty = 102960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35120 / 102960 ti = "17/35120/102960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35120/102960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35120 ÷ 217
    35120 ÷ 131072     		x = 0.2679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102960 ÷ 217
    102960 ÷ 131072     		y = 0.7855224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45804874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7855224609375 × 2 - 1) × π
    -0.571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79399053138098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45804874} λ = -1.45804874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79399053138098))-π/2
    2×atan(0.166295237469395)-π/2
    2×0.164787265091542-π/2
    0.329574530183084-1.57079632675     		φ = -1.24122180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45804874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.540039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24122180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.116771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35120 KachelY 102960 -1.45804874 -1.24122180 -83.540039 -71.116771
    Oben rechts KachelX + 1 35121 KachelY 102960 -1.45800080 -1.24122180 -83.537292 -71.116771
    Unten links KachelX 35120 KachelY + 1 102961 -1.45804874 -1.24123731 -83.540039 -71.117659
    Unten rechts KachelX + 1 35121 KachelY + 1 102961 -1.45800080 -1.24123731 -83.537292 -71.117659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24122180--1.24123731) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24122180--1.24123731) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45804874--1.45800080) × cos(-1.24122180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323640483408607 × 6371000     		do = 98.8481341389668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45804874--1.45800080) × cos(-1.24123731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323625808115872 × 6371000     		du = 98.8436519268233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24122180)-sin(-1.24123731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323640483408607-0.323625808115872)×R²
    abs(-1.45800080--1.45804874)×1.46752927359106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46752927359106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46752927359106e-05×40589641000000     		ar = 9767.37883206231m²