Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3512 / 4020
↖ ↑ ↗
← N 79.327083°
W141.416016°		 ← 226.25 m → N 79.327083°
W141.405029°		 →
↑
226.23 m
↓
↑
226.23 m
↓
N 79.325049°
W141.416016°		 ← 226.29 m →
51 190 m²		 N 79.325049°
W141.405029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107192993164062 y=0.122695922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107192993164062 × 215)
    floor (0.107192993164062 × 32768)
    floor (3512.5)     		tx = 3512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122695922851562 × 215)
    floor (0.122695922851562 × 32768)
    floor (4020.5)     		ty = 4020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3512 / 4020 ti = "15/3512/4020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3512/4020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3512 ÷ 215
    3512 ÷ 32768     		x = 0.107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4020 ÷ 215
    4020 ÷ 32768     		y = 0.1226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.78564453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46817509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1226806640625 × 2 - 1) × π
    0.754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3707673076095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46817509} λ = -2.46817509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3707673076095))-π/2
    2×atan(10.7056036245215)-π/2
    2×1.47765756027929-π/2
    2.95531512055859-1.57079632675     		φ = 1.38451879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46817509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38451879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.327083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3512 KachelY 4020 -2.46817509 1.38451879 -141.416016 79.327083
    Oben rechts KachelX + 1 3513 KachelY 4020 -2.46798334 1.38451879 -141.405029 79.327083
    Unten links KachelX 3512 KachelY + 1 4021 -2.46817509 1.38448328 -141.416016 79.325049
    Unten rechts KachelX + 1 3513 KachelY + 1 4021 -2.46798334 1.38448328 -141.405029 79.325049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38451879-1.38448328) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dl = 226.234210000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38451879-1.38448328) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dr = 226.234210000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46817509--2.46798334) × cos(1.38451879) × R
    0.000191749999999935 × 0.185202120304105 × 6371000     		do = 226.25017934664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46817509--2.46798334) × cos(1.38448328) × R
    0.000191749999999935 × 0.185237015880315 × 6371000     		du = 226.292809152189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38451879)-sin(1.38448328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185202120304105-0.185237015880315)×R²
    abs(-2.46798334--2.46817509)×3.48955762096426e-05×R²
    0.000191749999999935×3.48955762096426e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.48955762096426e-05×40589641000000     		ar = 51190.3527528039m²