Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3512 / 2701
↖ ↑ ↗
← N 52.133488°
W 25.664062°		 ← 2 999.45 m → N 52.133488°
W 25.620117°		 →
↑
3 000.36 m
↓
↑
3 000.36 m
↓
N 52.106505°
W 25.664062°		 ← 3 001.26 m →
9 002 140 m²		 N 52.106505°
W 25.620117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42877197265625 y=0.32977294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42877197265625 × 213)
    floor (0.42877197265625 × 8192)
    floor (3512.5)     		tx = 3512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32977294921875 × 213)
    floor (0.32977294921875 × 8192)
    floor (2701.5)     		ty = 2701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3512 / 2701 ti = "13/3512/2701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3512/2701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3512 ÷ 213
    3512 ÷ 8192     		x = 0.4287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2701 ÷ 213
    2701 ÷ 8192     		y = 0.3297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    -0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3297119140625 × 2 - 1) × π
    0.340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06995159951965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44792239} λ = -0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06995159951965))-π/2
    2×atan(2.91523839762354)-π/2
    2×1.24034867181834-π/2
    2.48069734363668-1.57079632675     		φ = 0.90990102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90990102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.133488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3512 KachelY 2701 -0.44792239 0.90990102 -25.664062 52.133488
    Oben rechts KachelX + 1 3513 KachelY 2701 -0.44715540 0.90990102 -25.620117 52.133488
    Unten links KachelX 3512 KachelY + 1 2702 -0.44792239 0.90943008 -25.664062 52.106505
    Unten rechts KachelX + 1 3513 KachelY + 1 2702 -0.44715540 0.90943008 -25.620117 52.106505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90990102-0.90943008) × R
    0.00047093999999992 × 6371000     		dl = 3000.35873999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90990102-0.90943008) × R
    0.00047093999999992 × 6371000     		dr = 3000.35873999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44792239--0.44715540) × cos(0.90990102) × R
    0.000766990000000023 × 0.613823891562393 × 6371000     		do = 2999.44632736141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44792239--0.44715540) × cos(0.90943008) × R
    0.000766990000000023 × 0.614195603760768 × 6371000     		du = 3001.26269652458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90990102)-sin(0.90943008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613823891562393-0.614195603760768)×R²
    abs(-0.44715540--0.44792239)×0.000371712198375396×R²
    0.000766990000000023×0.000371712198375396×6371000²
    0.000766990000000023×0.000371712198375396×40589641000000     		ar = 9002140.04938268m²