Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35118 / 102968
↖ ↑ ↗
← S 71.123880°
W 83.545532°		 ← 98.79 m → S 71.123880°
W 83.542786°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.124769°
W 83.545532°		 ← 98.79 m →
9 762 m²		 S 71.124769°
W 83.542786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267932891845703 y=0.785587310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267932891845703 × 217)
    floor (0.267932891845703 × 131072)
    floor (35118.5)     		tx = 35118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785587310791016 × 217)
    floor (0.785587310791016 × 131072)
    floor (102968.5)     		ty = 102968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35118 / 102968 ti = "17/35118/102968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35118/102968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35118 ÷ 217
    35118 ÷ 131072     		x = 0.267929077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102968 ÷ 217
    102968 ÷ 131072     		y = 0.78558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267929077148438 × 2 - 1) × π
    -0.464141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45814461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.5711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79437402657794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45814461} λ = -1.45814461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79437402657794))-π/2
    2×atan(0.166231476271386)-π/2
    2×0.164725219063175-π/2
    0.32945043812635-1.57079632675     		φ = -1.24134589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45814461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.545532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24134589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.123880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35118 KachelY 102968 -1.45814461 -1.24134589 -83.545532 -71.123880
    Oben rechts KachelX + 1 35119 KachelY 102968 -1.45809668 -1.24134589 -83.542786 -71.123880
    Unten links KachelX 35118 KachelY + 1 102969 -1.45814461 -1.24136140 -83.545532 -71.124769
    Unten rechts KachelX + 1 35119 KachelY + 1 102969 -1.45809668 -1.24136140 -83.542786 -71.124769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24134589--1.24136140) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dl = 98.8142099992695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24134589--1.24136140) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dr = 98.8142099992695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45814461--1.45809668) × cos(-1.24134589) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323523069424875 × 6371000     		do = 98.7916612314713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45814461--1.45809668) × cos(-1.24136140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323508393509377 × 6371000     		du = 98.7871797641226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24134589)-sin(-1.24136140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323523069424875-0.323508393509377)×R²
    abs(-1.45809668--1.45814461)×1.46759154986409e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46759154986409e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46759154986409e-05×40589641000000     		ar = 9761.798543117m²